【31329】 【 分类讨论与数形结合】 解答题 如图 24－2 所示，菱形 $A B C D$ 的两条对角线分别为 6 和 $8, M, N$分别是边 $B C, C D$ 的中点，$P$ 是对角线 $B D$ 上一点，则 $P M+P N$ 的最小值为 $\qquad$ ． [img=/uploads/2025-09/d48395.jpg][/img]

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【31328】 【 分类讨论与数形结合】 解答题 在直角坐标系中，已知点 $P(-2,-1)$ ，点 $T(t, 0)$ 是 $x$ 轴上的一个动点． （1）求点 $P$ 关于原点的对称点 $P^{\prime}$ 的坐标； （2）当 $t$ 取何值时，$\triangle P^{\prime} T O$ 是等腰三角形？

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【31327】 【 分类讨论与数形结合】 解答题 已知 $y, z$ 都是质数，其中 $x$ 为整数，且 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{z}$ ．求； $1998 x+5 y+3 z$ 的值．

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【31326】 【 分类讨论与数形结合】 解答题 某电信开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需交 15 元月租费，然后每通话 1 分钟，再付话费 0.3 元；乙种使用者每月不交月租费，每通话 1 分钟，付话费 0.6 元．若一个月内通话时间为 $x$ 分钟，甲、乙两种的费用分别为 $y_1$ 和 $y_2$ 元。 （1）分别写出 $y_1 、 y_2$ 与 $x$ 之间的函数关系式； （2）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？

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【31325】 【 分类讨论与数形结合】 证明题 如图 22－4 所示，已知 $\triangle A B C$ 中 $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C, C D$垂直于 $\angle A B C$ 的平分线 $B D$ 于 $D, B D$ 交 $A C$ 于 $E$ ，求证：$B E =2 C D$ 。 [img=/uploads/2025-09/cfc02a.jpg][/img]

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【31324】 【 两条直线的位置关系】 单选题 定义点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 到直线 $l: a x+b y+c=0\left(a^2+b^2 \neq 0\right)$ 的有向距离为 $d=\frac{a x_0+b y_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ．已知点 $P_1, P_2$ 到直线 $l$ 的有向距离分别是 $d_1, d_2$ ．以下命题正确的是（）

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【31323】 【 两条直线的位置关系】 单选题 已知直线 $l_1: a x-y+1=0, l_2: x+a y+1=0, a \in \mathbf{R}$ ，以下结论不正确的是（ ）

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【31322】 【 两条直线的位置关系】 单选题 已知 $m \in \mathbf{R}$ ，过定点 $A$ 的动直线 $m x+y=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $x-m y-m+3=0$ 交于点 $P$ ，则 $|P A|+\sqrt{3}|P B|$ 的取值范围是（ ）

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【31321】 【 两条直线的位置关系】 单选题 已知两点 $A(1,2), B(3,6)$ ，动点 $M$ 在直线 $y=x$ 上运动，则 $|M A|+|M B|$ 的最小值为

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【31320】 【 两条直线的位置关系】 解答题 如图，已知点 $A(4,0), B(0,4)$ ，从点 $P(2,0)$ 射出的光线经直线 $A B$ 反射后射到直线 $O B$上，再经直线 $O B$ 反射后又回到点 $P$ ，则光线所经过的路程是 $\qquad$。 [img=/uploads/2025-09/a9ec91c.png][/img]

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