【31309】 【 两条直线的位置关系】 单选题 已知直线 $l_{1}: x-3 y=0, l_{2}: x+a y-2=0$ ，若 $l_{1} \perp l_{2}$ ，则 $a$ 的值为 $($

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【31308】 【 两条直线的位置关系】 单选题 已知 $a \in \mathbf{R}$ ，则直线 $l_{1}: x+a y-1=0$ 与直线 $l_{2}:(1-a) x+2 a y-1=0$ 平行的充要条件是

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【31307】 【 两条直线的位置关系】 单选题 点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为 ()

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【31306】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 解答题 设 $\alpha =(1,1,-1)^{ T }$ 是 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量． （1）确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\alpha$ 所对应的特征值； （2）讨论 $A$ 是否可以对角化，说明理由．

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【31305】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 解答题 设区域 $D$ 由 $x+y=1, x=1, y=1$ 围成，计算 $\iint_D \frac{\max \{x, y\}}{\sqrt{x^2+y^2}} d x d y$ ．

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【31304】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 解答题 设 $f(u, v)$ 二阶连续可偏导，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=2$ ，令 $g(x, y)=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，若 $a \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}- b \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=x^2+y^2$ ，求常数 $a, b$ ．

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【31303】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $\int_0^1 f(x) d x=0, \int_1^2 f(x) d x=0, f(1)=1$ ．证明： （1）存在 $c \in(0,1)$ ，使得 $(1-c)[1-f(0)]=f^{\prime}(c) e ^{c-1}$ ； （2）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\int_0^{\xi} f(x) d x$ ．

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【31302】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 解答题 设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x)+3 \int_0^x f(x-t) d t+2 \int_0^x t f(x-t) d t=2 e ^{-x}+5 x-1$ ． （1）求 $f(x)$ ； （2）求曲线 $y=f(x)(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成的无界区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．

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【31301】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 解答题 设 $y=f(x)= \begin{cases}x^{2 x}, & x>0, \\ x+1, & x \leqslant 0 .\end{cases}$ （1）讨论 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性； （2）求 $f(x)$ 的极值点与极值．

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【31300】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 填空题 设 $A , B$ 为 3 阶矩阵，$r( B )=2, A B +2 B = O$ ，又 $r( A )<3$ 且 $A$ 可相似对角化，则 $\left|\begin{array}{cc}3( A - E )^{-1}+ A & E \\ O & ( A + E )\end{array}\right|=$ $\qquad$ .

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