【31299】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 填空题 设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．

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【31298】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 填空题 曲线 $L: y=(2 x+1) \int_0^x e ^{-t^2} d t$ 的斜渐近线为 $\qquad$ ．

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【31297】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 填空题 设函数 $z=f(x, y)$ 二阶连续可偏导，且 $f_{12}^{\prime \prime}(x+y, x y)=x^2+y^2, f_1^{\prime}(x, 0)=2 x^2+\sin x$ ， $f(0, y)= e ^y$ ，则 $f(x, y)=$

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【31296】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 填空题 设 $D$ 由 $L:\left\{\begin{array}{l}x=2(t-\sin t), \\ y=2(1-\cos t)\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，则 $\iint_D x y d x d y=$

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【31295】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 填空题 设曲线 $L: y=y(x)(x \geqslant 0)$ 为单调递增函数，$y(0)=1$ ，且对任意 $P(x, y) \in L$ ，曲线在该点的斜率与 $[0, x]$ 上曲边梯形的面积之差为 $2 e ^x+\frac{1}{2} x^2$ ，则 $y(x)=$ $\qquad$ ．

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【31294】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 单选题 设 I： $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m ;$ II ： $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m$ ，令 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m\right), B =\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m\right)$ ，若向量组 I 与向量组 II 等价，以下结论正确的是（ ）． （1）方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解； （2）$r\left(\begin{array}{ll} A & B \\ O & A \end{array}\right)=2 r( A ) ;$ （3）方程组 $A ^{ T } x = 0$ 与 $B ^{ T } x = 0$ 同解； （4）$r\left(\begin{array}{cc} A & B ^{ T } \\ O & A \end{array}\right)=2 r( A )$ ．

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【31293】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 单选题 设 $A$ 为 3 阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行、第 1 列与第 2 列对调、第 2 列的 2 倍加到第 3 列得到 $C =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A =(\quad)$ ．

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【31292】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 单选题 设 $M , N$ 为 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵， $A =\left(\begin{array}{cc} O & M \\ N & Q \end{array}\right)$ ，又 $P ^{-1} A P = B$ ，则 $B ^*=(\quad)$ 。

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【31291】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 单选题 设函数 $f(x)$ 连续可导，$f^{\prime \prime}(0)=2$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x+a x^3-\int_0^x f(t) \cos 2 t d t \sim 2 x^3$ ，且 $x=0$为 $f(x)$ 的极值点，则 $a=(\quad)$ ．

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【31290】 【 汤家凤考研数学模拟试卷（数二）2025版第三套】 单选题 设函数 $F$ 连续可偏导，且 $z=z(x, y)$ 由 $F\left(x^2-z^2, y^2-z^2, x^2+y^2\right)=0$ 确定，则 $y \frac{\partial z}{\partial x}- x \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.

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