【31741】 【 高中数学第一轮复习 双曲线训练】 填空题 已知双曲线 $C$ 的焦点为 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的方程为 $\qquad$ ．

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【31740】 【 高中数学第一轮复习 双曲线训练】 单选题 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ 。过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ 。已知 $\left|P F_2\right|=2$ ，直线 $P F_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

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【31739】 【 高中数学第一轮复习 双曲线训练】 单选题 点 $(3,0)$ 到双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 的一条渐近线的距离为

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【31738】 【 高中数学第一轮复习 双曲线训练】 单选题 设 $A, B$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是

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【31737】 【 《概率论与数理统计》基础训练与提高（下）】 解答题 设总体 $X \sim U(0, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，证明 $\hat{\theta}=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$是参数 $\theta$ 的一致估计量。

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【31736】 【 《概率论与数理统计》基础训练与提高（下）】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l}2 e^{-2(x-\theta)}, x>\theta \\ 0, x \leq \theta\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 为末知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $\hat{\theta}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ 。 （1）求总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；（2）求估计量 $\hat{\theta}$ 的分布函数； （3）用 $\hat{\theta}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$ 作为参数 $\theta$ 的估计量，是否具有无偏性。

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【31735】 【 《概率论与数理统计》基础训练与提高（下）】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度为 $$ f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2 \theta}, 0<x<\theta \\ \frac{1}{2(1-\theta)}, \theta \leq x<1, \\ 0, \text { 其他 } \end{array}\right. $$ 其中 $\theta$ 为末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。 （1）求参数 $\theta$ 的矩估计量； （2）判断 $4 \bar{X}^2$ 是否是 $\theta^2$ 的无偏估计量？

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【31734】 【 《概率论与数理统计》基础训练与提高（下）】 解答题 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n+1}$ 为来自总体 $X$ 的简单样本，令 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ ，求 $\sqrt{\frac{n}{n+1}} \frac{X_{n+1}-\bar{X}}{S}$ 所服从的分布。

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【31733】 【 《概率论与数理统计》基础训练与提高（下）】 解答题 设 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$ ，求 $Y$ 服从的分布。

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【31732】 【 《概率论与数理统计》基础训练与提高（下）】 解答题 设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, X_3$ 是简单随机样本，求 $\frac{2 X_1^2}{X_2^2+X_3^2}$ 服从的分布。

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