【31701】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 单选题 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则必有

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【31700】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 求 $I=\oint_L\left(y^2+z^2\right) \mathrm{d} x+\left(x^2+z^2\right) \mathrm{d} y+\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是半球面 $x^2+y^2+z^2=2 a x(z \geqslant 0)$ 与圆柱面 $x^2+y^2=2 b x(a>b>0)$ 的交线，其从 $z$ 轴正向看去为逆时针方向．

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【31699】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 已知 $\mathrm{d} u=\frac{a x+y}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x-\frac{x-y+b}{x^2+y^2} \mathrm{~d} y$ ，求（1）$a, b$ ；（2）$\oint_l \mathrm{~d} u$ ，其中 $l: x^2+y^2=1$且为逆时针方向．

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【31698】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 在点 $A\left(1, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ 的切线交 $y$ 轴于 $B$ ，设 $L$ 为从 $A$ 到 $B$ 的有向线段，试计算 $I=\int_L\left(\frac{\sin y}{x+1}-\sqrt{3} y\right) \mathrm{d} x+(\cos y \ln (1+x)+2 \sqrt{3} x-\sqrt{3}) \mathrm{d} y$ ．

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【31697】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 计算 $I=\iint_{\Sigma}(y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在柱体 $x^2+y^2 \leqslant 2 x$ 内的部分．

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【31696】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 一薄壳形状为 $x^2+y^2=2-2 z(z>0)$ ，其上任一点 $(x, y, z)$ 处的面密度 $\mu=\frac{3}{2}-z$ ，求其质量．

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【31695】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 计算曲线积分 $I=\int_{\Gamma} \frac{(x+2)^2+(y-3)^2}{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x+y=0 .\end{array}\right.$

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【31694】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设有一匀质物体，在空间所占据的区域 $\Omega$ 由球面 $x^2+y^2+z^2=2 a z$ 与圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成，其中 $a>0$ ，求该物体的质心坐标

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【31693】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 $I=\iint_D \max \{x, y\} \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ．

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【31692】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 计算二重积分 $I=\iint_D x^2 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以 $(0,0),(1,1),(0,1)$ 为顶点的三角形区域．

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