【31691】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 交换积分次序 $I=\int_0^{2 a} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 a x-x^2}}^{\sqrt{2 a x}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．

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【31690】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 单选题 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2} \arctan \left(1+x^2+y^2\right), x^2+y^2 \neq 0, \\ \frac{\pi}{2}, \quad x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 若平面区域 $D: x^2+y^2 \leqslant a^2$ ，则 $\lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\pi a^2}=$

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【31689】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 单选题 设平面区域 $D$ 由直线 $x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴所围成．记 $I_1=\iint_D(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D[\sin (x+y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则有

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【31688】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续的偏导数，且满足 $f(0,0)=1, f_x^{\prime}(0,0)=2, f_y^{\prime}(0, y)=-3$ ，以及 $f_{x x}^{\prime \prime}(x, y)=y, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=x+y$ ，试求 $f(x, y)$ 的表达式．

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【31687】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，且 $f(x, y)=1-x-y+o\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right)$ ． 若 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^2+y^2\right)$ ．试问 $(0,0)$ 是否为 $g(x, y)$ 的极值点，请说明理由．

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【31686】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 证明：对于任何正实数 $a, b, c$ ，恒有不等式 $a b c^3 \leqslant 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^5$ ．

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【31685】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设 $\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}=0$ ，试将该方程用 $\left\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2 \\ v=2 x y\end{array}\right.$ 变形，使其成为关于 $u, v$ 的方程．

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【31684】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 求 $f_{x y}^{\prime \prime}(0,0), f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)$ ．

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【31683】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设函数 $y(x)$ 满足方程 $$ y(x)=x^3-x \int_1^x \frac{y(t)}{t^2} \mathrm{~d} t+y^{\prime}(x), x>0 $$ 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$ ．求函数 $y(x)$ ．

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【31682】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设函数 $u=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f$ 二阶可导，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\iint_D \frac{1}{1+s^2+t^2} \mathrm{~d} s \mathrm{~d} t$ ，其中 $$ D=\left\{(s, t) \mid s^2+t^2 \leqslant x^2+y^2\right\} \text {, 又 } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0 \text {. } $$ （1）试求 $f^{\prime}(x)$ 的表达式；（2）若 $f(0)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x^4}$ ．

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