【31671】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且其图像关于 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称，证明： $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=2 \int_a^{\frac{a+b}{2}} f(x) \mathrm{d} x $$

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【31670】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b x^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，求证 $f(x)=0$至少有三个实根．

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【31669】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 已知 $y=f(x)$ 具有连续的导数，且 $f(1)=0, g(x)$ 是其反函数．求证： $$ \int_0^1\left[\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=2 \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x $$

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【31668】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上连续且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，其中 $l>0$ ． （1）求证对任意的 $x \in(0, a)$ ，都存在 $\theta \in(0,1)$ ，使得下式成立： $$ \int_0^x f(t) \mathrm{d} t+\int_0^{-x} f(t) \mathrm{d} t=x[f(\theta x)-f(-\theta x)] $$ （2）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta$ ．

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【31667】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 连续且满足 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ 且 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ ．

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【31666】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 单选题 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$T$ 为一常数，则下列命题中错误的是

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【31665】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 证明 $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin x^2 \mathrm{~d} x>0$ ．

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【31664】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ ， （1）证明：当 $N \in N_{+}$，且 $n \pi \leq x<(n+1) \pi$ 时， $2 n \leq S(x)<2(n+1)$ ． （2）求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$

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【31663】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a)=f(c)=f(b), c \in(a, b)$ ．又设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内任意子区间内不恒为常数，求证存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．

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【31662】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设函数 $f(x), g(x)$ 均在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$ ，求证：存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=g^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\eta)$ ．

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