【31681】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x \int_0^x[f(t)]^2 \mathrm{~d} t$ ，试求 $f(x)$ 的表达式．

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【31680】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}=f(x)$ 有一个特解 $\frac{1}{x}$ ，对应齐次方程有一个特解为 $x^2$ ，求该方程的通解．

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【31679】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设 $f(x)$ 二阶可导且 $f^{\prime}(x)=f(1-x)$ ，求 $f(x)$ ．

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【31678】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设 $\varphi(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数且 $\Phi^{\prime}(x)=\varphi(x), \Phi(0)=0, \Phi(2 \pi) \neq 0$ ． （1）求解方程 $y^{\prime}+y \sin x=\varphi(x) \mathrm{e}^{\cos x}$ ；（2）以上方程是否存在以 $2 \pi$ 为周期的解．

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【31677】 【 新东方高等数学《基础训练30题》微分方程与多元微积分】 解答题 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上连续且有界，又已知 $\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$ 收敛，试证明方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ 只有一个解在 $(-\infty, 0]$ 有界．

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【31676】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公切线，求：（1）常数 $a$ 及切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ；（2）两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $S$ 及绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V$ ．

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【31675】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，计算 $I=\int_0^1\left[f(x) \int_1^x f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x$ ．

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【31674】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 讨论积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^\alpha} \mathrm{d} x$ 的敛散性，其中 $\alpha>0$ ．

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【31673】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$ ；

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【31672】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 证明：（1）$f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，则 $$ \left(\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x $$ （2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且恒大于零，则 $1 \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ ．

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