【31661】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\int_0^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$.

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【31660】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\int_0^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$.

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【31659】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=k f(\xi)$ ．

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【31658】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 求曲线 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 在 $(1,1)$ 处的曲率半径．

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【31657】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设函数 $f(x)$ 满足方程 $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{x}+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=\left(1+\frac{1}{x}\right) \ln ^2(1+x)-x$ ，若 $x_0>0$ 是函数 $f(x)$ 的驻点，试问 $x_0$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点，请说明你的理由．

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【31656】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 证明：当 $0<a<b$ 时，$(1+a) \ln (1+a)+(1+b) \ln (1+b)<(1+a+b) \ln (1+a+b)$ ．

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【31655】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 求曲线 $y=x^2 \ln (a x)(a>0)$ 的拐点，并求 $a$ 变动时的拐点的轨迹．

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【31654】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 讨论方程 $a^x=b x(a>1)$ 的实根个数．

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【31653】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $y=f(x)$ 是由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+2 t \\ t^2-y+a \sin y=1\end{array}\right.$ 确定，若 $\left.y\right|_{t=0}=b$ ，请计算 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$ ．

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【31652】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 在 $(-l, l)$ 内有定义，且对任何的 $x, y \in(-l, l)$ 均有 $f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x) f(y)}$ ，又 $f^{\prime}(0)=1$ ，求证 $f(x)$ 在 $(-l, l)$ 上处处可导并求 $f(x)$ 的表达式．

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