【31651】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，请证明以下结论： （1）当 $f\left(x_0\right)>0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ． （2）当 $f\left(x_0\right)<0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=-f^{\prime}\left(x_0\right)$ ． （3）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，但 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处不可导． （4）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=0$ ．

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【31650】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)=x+x \int_0^1 f(t) \mathrm{d} t+x^2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ ，求 $f(x)$ ．

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【31649】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设函数 $f(x)$ 处处具有连续导数，且 $0<f^{\prime}(x)<\frac{1}{1+x^2}$ ．数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_n=f\left(x_{n-1}\right)$ ，求证 $\left\{x_n\right\}$ 收敛．

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【31648】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 （I）证明方程 $\mathrm{e}^x+x^{2 n+1}=0$ 在 $(-1,0)$ 内有唯一的实根 $x_n(n=0,1,2, \cdots)$ ． （II）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求其值．

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【31647】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $0<x_1<1, x_{n+1}=2 x_n-x_n^2$ ，求证 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求其极限．

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【31646】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $x_0=a, x_1=b, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+x_{n-1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．

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【31645】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 设 $x_1=2, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．

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【31644】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n^2+k}$.

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【31643】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{3}{1 \times 2^2}+\frac{5}{2^2 \times 3^2}+\cdots+\frac{2 n+1}{n^2 \times(n+1)^2}\right]$

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【31642】 【 新东方高等数学《基础训练30题》】 解答题 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{\mathrm{e}^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{e}^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)$;

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