【32329】 【 厦门大学《高等数学A下》期中考试试卷】 解答题 $\iint_D\left(x^2+y^2\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{4-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 及 $x+y=0$ 所围的平面区域。

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【32328】 【 厦门大学《高等数学A下》期中考试试卷】 解答题 已知 $z=f(x, y)$ 由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 确定，求 $d z |_{(1,0,-1)}$ 。

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【32327】 【 厦门大学《高等数学A下》期中考试试卷】 解答题 $\int_0^1\left[\int_x^1 e^{y^2} d y\right] d x$

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【32326】 【 厦门大学《高等数学A下》期中考试试卷】 解答题 设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$ ，求 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^2+y^2 \leq t^2} f\left(x^2+y^2\right) d x d y}{t^4}$ 。

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【32325】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 一报童在街上卖报纸，假设每个走过他身边的人均以概率 $\frac{1}{3}$买该报纸，以 $X$ 表示他刚卖出 100 份该报纸时走过他身边的人的总数，试用中心极限定理近似计算概率 $P(X \leq 300)$ 的值．（提示：以 $X_1$ 表示该报童开始卖报到他售出第一份报纸时走过他身边的人数，$X_i$ 表示卖报人从卖出第 $i-1$ 份报纸后从他身边走过的第一个人到卖出第 $i$ 份报纸时走过他身边的人数．）

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【32324】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设 $\left\{X_n\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列，而且 $E\left(X_1\right)=\mu$ 与 $\mathrm{var}\left( X_1\right)=\sigma^2$ 都存在．又设 $Y_n=\frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k X_k$ ，试用 Chebyshev 不等式证明： $Y_n \xrightarrow{P} \mu$.

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【32323】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，都服从参数为 $p$ 的几何分布，$X$ 的分布列为 $$ P\{X=k\}=(1-p)^{k-1} p, \quad(k=1, \quad 2, \cdots) . $$ 试求条件分布列 $P\{X=k \mid X+Y=n\}$ 以及条件期望 $E(X \mid X+Y=n)$ ．

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【32322】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 将数字 $1,2, \cdots, n$ 任意地排成一排，定义 $$ \begin{gathered} X_i=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { 如果第 } i \text { 个位置上恰好是数字 } i \\ 0 & \text { 如果第 } i \text { 个位置上不是数字 } i \end{array}\right. \text {, } \\ (i=1,2, \cdots, n) \end{gathered} $$ 求期望 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)$ 与方差 $\operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)$

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【32321】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 在独立的 Bernoulli 试验中，事件 $A$ 在每次试验中发生的概率均为 $p$ ，设 $$ \begin{gathered} X_k=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { 事件 } A \text { 在第 } k \text { 次与第 } k+1 \text { 次试验中都发生 } \\ 0 & \text { 其它 } \end{array},\right. \\ \qquad(k=1,2,3, \cdots) . \end{gathered} $$ （1）求 $\frac{1}{n^2} \operatorname{var}\left(\sum_{k=1}^n X_k\right)$ ；（2）证明随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 服从大数定律 ．

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【32320】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $$ P\{X=k\}=\left(e^\lambda-1\right)^{-1} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, \quad(k=1, \quad 2, \quad 3, \cdots) . $$ 其中参数 $\lambda>0$ ．（1）求随机变量 $X$ 的特征函数 $\varphi(t)$ ；（2）利用特征函数 $\varphi(t)$ 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$

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