【32319】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，分别服从自由度为 $m$ 与 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，密度函数分别为 $$ f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2^{\frac{m}{2}} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} x^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} & x>0 \\ 0 & x \leq 0 \end{array}, \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)^{y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}}}} & y>0 \\ 0 & y \leq 0 \end{array} .\right.\right. $$ 其中 $m$ 与 $n$ 都是正整数．令随机变量 $U=X+Y, V=\frac{X}{X+Y}$ ，求二维随机变量 $(U, V)$ 的联合密度函数 $g(u, v)$ ．

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【32318】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足： $\operatorname{var}(X)=2, \operatorname{var}(Y)=4$ ， $\operatorname{cov}(X, \quad Y)=1$ ，再设随机变量 $U=2 X-3 Y$ ， $V=3 X-2 Y$ ，求二维随机变量 $(U, V)$ 的相关系数 $\rho_{U, V}$.

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【32317】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设平面区域 $D$ 是由双曲线 $y=\frac{1}{x},(x>0)$ 以及直线 $y=x, x=2$ 所围，二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布．求：（1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数 $f(x, y)$ ；（2）随机变量 $Y$ 的边际密度函数 $f_Y(y)$ ．

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【32316】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $$ f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}, \quad(-\infty<x<+\infty) $$ 试求 $E[\min (|X|, 1)]$ ．

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【32315】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 设某种昆虫产卵的数目 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson分布，而一个卵能孵化为下一代幼虫的概率为 $p$ ，并且各个卵能否孵化为下一代幼虫是相互独立的．求该昆虫有 $r$个下一代幼虫的概率 $p_r$ ．

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【32314】 【 厦门大学《概率论与数理统计》期末考试时试卷】 解答题 拋掷 3 枚均匀的硬币，设事件 $$ \begin{aligned} A & =\{\text { 至多出现一次正面 }\}, \\ B & =\{\text { 抛掷过程中, 正面与反面都出现 }\} \end{aligned} $$ 判断随机事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立 ？ 如果抛掷 4 枚均匀的硬币，判断上述随机事件 $A$ 与 $B$ 是否相互独立 ？

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【32313】 【 中考考前冲刺-图像变换】 解答题 夏季易暴发山洪，某些地方的学校易被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过 $45^{\circ}$ 时，可以确保山体不滑坡，某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知 $A F / / B C$ ，斜坡 $A B$ 长 30 米，坡角 $\angle A B C=60^{\circ}$ ，为确保安全，学校计划改造时保持坡脚 $B$ 不动，坡顶 $A$ 沿 $A F$ 削进到 $E$ 点处，求 $A E$ 至少是多少米？（结果保留根号） [img=/uploads/2025-10/24d670.jpg][/img]

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【32312】 【 中考考前冲刺-图像变换】 解答题 如图，$\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆，$A B$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，$A C=C D$ ，连接 $A D$ ， $C E$ 是 $\odot O$ 切线，$C E$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ． （1）求证：$\angle A B C=\angle C A D$ ； （2）求证：$B E \perp C E$ ； （3）若 $A C=4, B C=3$ ， ① 求 $B E$ 的长； ② 求 $\sin \angle B A D$ ． [img=/uploads/2025-10/1984a5.jpg][/img]

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【32311】 【 中考考前冲刺-图像变换】 填空题 如图，我海军舰艇在某海域 $C$ 岛附近巡航，计划从 $A$ 岛向北偏东 $80^{\circ}$ 方向的 $B$ 岛直线行驶．测得 $C$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $50^{\circ}$ 方向，在 $B$ 岛的北偏西 $40^{\circ}$ 方向．$A, B$ 之间的距离为 80 海里，则 $C$ 岛到航线 $A B$ 的最短距离是 $\_\_\_\_$海里． [img=/uploads/2025-10/7a60a4.jpg][/img]

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【32310】 【 中考考前冲刺-图像变换】 填空题 如图，在一块长为 10 米，宽为 5 米的矩形上地中间铺一条弯曲的石子路，石子路的左边线向右平移 $x$ 米就是它的右边线，其余部分种草，则草地面积为 平方米．（用含 $x$ 的式子表示） [img=/uploads/2025-10/375d13.jpg][/img]

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