设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，分别服从自由度为 $m$ 与 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，密度函数分别为

$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2^{\frac{m}{2}} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} x^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} & x>0 \\
0 & x \leq 0
\end{array}, \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)^{y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}}}} & y>0 \\
0 & y \leq 0
\end{array} .\right.\right.
$$


其中 $m$ 与 $n$ 都是正整数．令随机变量 $U=X+Y, V=\frac{X}{X+Y}$ ，求二维随机变量 $(U, V)$ 的联合密度函数 $g(u, v)$ ．