【32614】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学B类试题与答案】 填空题 已知 $f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$

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【32613】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 解答题 【阅读】我们将 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 称为一对＂对偶式＂，因为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$ ，所以构造＂对偶式＂再将其相乘可以有效地将 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ 和 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 中的＂$\sqrt{ }$＂去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{2})^2}{(2-\sqrt{2}) \cdot(2+\sqrt{2})}=3+\sqrt{2}$ ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根 号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）比较大小：$\frac{1}{\sqrt{7}-2}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$ ．（用＂$>" "<$＂或＂$=$＂填空） （2）已知 $x=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}, y=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$ ，求 $x^2 y+x y^2$ 的值； （3）解方程：$\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2$ ．（利用＂对偶式＂相关知识，提示：令 $\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=t$ ）．

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【32612】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 解答题 阅读材料： 在解决问题＂已知 $a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ ，求 $3 a^2-6 a-1$ 的值＂时，小亮是这样分析与解答的： $$ \begin{aligned} & a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1, \quad \therefore a-1=\sqrt{2}, \quad \therefore(a-1)^2=2, \quad a^2-2 a+1=2, \\ & \therefore a^2-2 a=1, \quad \therefore 3 a^2-6 a-1=3\left(a^2-2 a\right)-1=3-1=2 . \end{aligned} $$ 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： （1）化简：$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ ； （2）若 $a=\frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$ ，求 $4 a^2-24 a+8$ 的值．

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【32611】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 解答题 阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，关于 $x$ 的方程 $3 x-\frac{1}{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}$ 的解是

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【32610】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 填空题 若 $m=\frac{2021}{\sqrt{2022}-1}$ ，则 $m^2-2 m-1=$

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【32609】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 解答题 不等式 $x-1>\sqrt{3} x$ 的解集是

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【32608】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 解答题 分母有理化：$\frac{1}{4-2 \sqrt{3}}=$

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【32607】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 二次根式除法可以这样做，如 $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4 \sqrt{3}$ ，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列 结论：（1）将式子 $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 $\sqrt{2}+\sqrt{5}$ ；（2）若 $a$是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，则 $\frac{3}{a}$ 的值为 $\sqrt{2}+1$ ；（3）比较两个二次根式的大小：$\frac{1}{\sqrt{5}-2}>\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ ；（4）计算：$\frac{2}{1+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\ldots+\frac{2}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}=3 \sqrt{11}-1$ ；（5）若 $x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}, y=\frac{1}{x}$ ，且 $19 x^2+123 x y+19 y^2=1985$ ，则整数 $n=2$ ．以上结论正确的是（ ）

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【32606】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 $\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+. . .+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{98}+10}=$

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【32605】 【 二次根式化简之分母有理化模型】 单选题 将 $\frac{9}{4-\sqrt{7}}$ 化简为 $a+b \sqrt{7}$ ，其中 $a 、 b$ 为整数，求 $a+b$ 之值为何？

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