【32624】 【 汤家凤-二维随机变量与分布常考题型】 解答题 设 $X, Y$ 独立同分布，且 $X \sim E(1)$ ，设 $Z=\frac{Y}{X}$ ，求 $Z$ 的概率密度函数．

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【32623】 【 汤家凤-二维随机变量与分布常考题型】 解答题 设区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，随机变量 $(X, Y)$ 在 $D$ 上服从均匀分布，令 $Z=\left\{\begin{array}{ll}-1, & Y \geqslant X, \\ 1, & Y<X,\end{array}\right.$ 求 $Z$ 的分布．

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【32622】 【 汤家凤-二维随机变量与分布常考题型】 解答题 设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $$ F(x, y)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2 y}+\mathrm{e}^{-x-2 y}, & x \geqslant 0, y \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$ 判断 $X, Y$ 的独立性．

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【32621】 【 汤家凤-二维随机变量与分布常考题型】 解答题 对某个目标射击，命中率为 $p(0<p<1)$ ，直到目标命中两次为止．设 $X$ 表示首次命中目标射击的次数，$Y$ 表示两次命中目标的总次数． （1）求 $(X, Y)$ 的联合分布律； （2）求 $X$ 及 $Y$ 的条件分布律．

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【32620】 【 汤家凤-二维随机变量与分布常考题型】 解答题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $$ F(x, y)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-2 x}-\mathrm{e}^{1-y}+\mathrm{e}^{-2 x-y+1}, & x \geqslant 0, y \geqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$ 求 $X, Y$ 的边缘分布函数．

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【32619】 【 汤家凤-二维随机变量与分布常考题型】 解答题 设 $X \sim\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right), Y \sim\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right)$ ，且 $P\left\{X^2= Y^2\right\}=1$ ，求 $(X, Y)$ 的联合分布律。

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【32618】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学B类试题与答案】 证明题 设 $f(x, y)$ 是定义在 $x^2+y^2 \leq 1$ 上具有连续偏导数的实函数且 $|f(x, y)| \leq 1$ ，证明在单位圆内存在一点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，使得 $$ \left[f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)\right]^2+\left[f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)\right]^2 \leq 16 $$

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【32617】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学B类试题与答案】 解答题 求微分方程 $y^{\prime \prime}+\left(4 x+e^{2 y}\right)\left(y^{\prime}\right)^3=0,\left(y^{\prime} \neq 0\right)$ 的通解．

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【32616】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学B类试题与答案】 解答题 计算二重积分 $$ I=\iint_D\left((x+y)^2 \max \{|x+y|,|x-y|\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ．

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【32615】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛非数学B类试题与答案】 填空题 不定积分$\int \frac{1}{\left(1+x^4\right) \sqrt[4]{1+x^4}} \mathrm{~d} x=$

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