【40211】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 证明题 （共一题，附加题不计入总分，仅用于评判成绩A＋） 设 $f_n(x)(n=1,2, \cdots)$ 在区间 $[a, b]$ 上可微，且 $\exists M>0$ ，使得 $\forall n=1,2, \cdots, \forall x \in[a, b]$ ，都有 $\left|f_n^{\prime}(x)\right| \leq M$ 。证明：若函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上逐点收敛，则 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。

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【40210】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 设函数 $f(x, y, z)$ 在单位球 $B=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1\right\}$ 上连续可微，且当 $(x, y, z)$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1$ 时，$f(x, y, z)=0$ 。证明： $$ \begin{aligned} & \text { (I) } \iiint_B\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\ & =-3 \iiint_B f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \\ & \text { (II) }\left|\iiint_B f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z\right| \\ & \leq \frac{\pi}{3} \max _{(x, y, z) \in B}\|\nabla f(x, y, z)\| \text {, 其中 } \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) \text { 。 } \end{aligned} $$

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【40209】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 设 $f(x)$ 为 $2 \pi$ 周期函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上的定义为 $$ f(x)=\frac{2 \pi|x|-x^2}{4}, x \in[-\pi, \pi]_{\circ} $$ （I）求 $f(x)$ 的Fourier级数； （II）利用 $f(x)$ 的Fourier级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ； （III）利用 $f(x)$ 的Fourier级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 。

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【40208】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\boldsymbol{n} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{n}}}{(\boldsymbol{n}+\mathbf{1})!}$ 的收敛域及和函数。

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【40207】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 计算 $\oint_{\boldsymbol{L}^{+}} \frac{\boldsymbol{y d} \boldsymbol{x}-(\boldsymbol{x}-\mathbf{2}) \mathrm{d} \boldsymbol{y}}{(\boldsymbol{x}-\mathbf{2})^{\mathbf{2}}+\mathbf{4} \boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}}$ ，其中 $L^{+}: x^2+y^2=10$ ，逆时针方向。

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【40206】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 设 $S$ 是有界闭区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid 1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4, z \geq \sqrt{x^2+y^2}\right\}$ 的边界面的外侧，求 $I=\oint_S x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。

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【40205】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 曲面 $\Sigma: x=u \cos v, y=u \sin v, z=v(0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq 2 \pi)$ 。求 $\iint_{\Sigma} \frac{z}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \mathrm{~d} \boldsymbol{S}$ 。

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【40204】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 解答题 求 $\iint_D \frac{\mathbf{2} \boldsymbol{x} \mathbf{d} \boldsymbol{x} \mathbf{d} \boldsymbol{y}}{\boldsymbol{y}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathbf{3}}}$ ，其中 $D$ 是由曲线 $x y=1, x y=2, y^2=x, y^2=2 x$ 围成的有界区域。

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【40203】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 填空题 设函数 $f(y)$ 可微，且 $\int_{L(A)}^{(B)}\left(z^2 f(y)+e^x\right) \mathrm{d} x+\left(x z^2+\cos y\right) \mathrm{d} y+(2 x y z-z) \mathrm{d} z$与路径无关，则 $f(y)=$

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【40202】 【 2024-2025学年清华大学高等数学下（微积分 ）期末试题和解答】 填空题 设 $f(x)=\int_0^x e^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0=0$ 处的 Taylor 级数为

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