【40191】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 解答题 已知向量组 $\mathrm{I}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), \mathrm{II}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), \mathrm{III}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5\right)$ ，如果各向量组的秩分别为3，3，4．证明：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_5-\alpha_4$ 的秩为 4

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【40190】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 解答题 已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & -6 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & 8 & -12\end{array}\right)$ ，则 $A^n=$

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【40189】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 解答题 11 设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{llllll}2 a & 1 & & & & \\ a^2 & 2 a & 1 & & & \\ & a^2 & 2 a & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & a^2 & 2 a & 1 \\ & & & & a^2 & 2 a\end{array}\right), x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$ ． （1）证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$ ； （2）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_1$ ； （3）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

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【40188】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 填空题 已知平面上三条不同直线的方程分别为 $a x+2 b y+3 c=0, b x+2 c y+3 a=0$ ， $c x+2 a y+3 b=0$ ，试证明这三条直线交于一点的充要条件是 $a+b+c=0$ ．

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【40187】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 填空题 判断二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$ 是否正定

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【40186】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 填空题 设 $\alpha_i=\left(a_{i 1}, \cdots, a_{i n}\right)^T(i=1, \cdots, r, r<n)$ 是 $n$ 维实向量，且 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$ 线性无关，已知 $\beta=\left(b_1, \cdots, b_n\right)^T$ 是线性方程组 $\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r 1} & \cdots & a_{r n}\end{array}\right) x=0$ 的非零解，判断向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \beta$的线性相关性

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【40185】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 填空题 设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & k & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 5\end{array}\right)$ ，且 $A$ 得秩为 $3, k=$

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【40184】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 填空题 设 $A$ 为 3 阶矩阵，$|A|=-2$ ，把 $A$ 按行分块为 $A=\left(\begin{array}{c}A_1 \\ A_2 \\ A_3\end{array}\right)$ ，则行列式 $\left|\begin{array}{c}A_3-2 A_1 \\ 3 A_2 \\ A_1\end{array}\right|=$

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【40183】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 单选题 设 $A, B$ 是满足 $A B=0$ 的任意两个非零矩阵，则

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【40182】 【 普通高校《高等代数B1》期末考试模拟试卷】 单选题 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足 $A B=A-2 B-E$ ，则 $|B-E|=()$

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