11 设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{llllll}2 a & 1 & & & & \\ a^2 & 2 a & 1 & & & \\ & a^2 & 2 a & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & a^2 & 2 a & 1 \\ & & & & a^2 & 2 a\end{array}\right), x=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$ ；
（2）当 $a$ 为何值时，该方程组有唯一解，并求 $x_1$ ；
（3）当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．