【37487】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 解答题 如图，三棱锥 $P-A B C$ 由三个以 $C$ 为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板 $A B C$ 和 $P A C$ 为两个全等的直角三角板，且 $\angle B A C= \frac{\pi}{6}, E, F$ 分别为 $P A, P C$ 的中点，平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ． （1）证明：$l \perp$ 平面 $P B C$ ； （2）点 $Q$ 在直线 $l$ 上，直线 $P Q$ 与直线 $E F$ 的夹角为 $\alpha$ ，直线 $P Q$ 与平面 $B E F$ 的夹角为 $\beta$ ，是否存在点 $Q$ ，使得 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ ？如果存在，请求出 $|B Q|$ ；如果不存在，请说明理由． [img=/uploads/2026-02/ac2f13.jpg][/img]

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【37486】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 解答题 在 $\triangle A B C$ 中，$A B=3, A C=2, D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $A D$ 平分 $\angle B A C$ ． （1）若 $B C=3$ ，求 $\frac{A D}{C D}$ ； （2）若 $\angle B A C=\frac{\pi}{3}$ ，求线段 $A D$ 的长． [img=/uploads/2026-02/4ab0ad.jpg][/img]

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【37485】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 填空题 已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作双曲线的一条渐近线的垂线 $l$ ，垂足为 $M$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的另一条渐近线交于点 $N$ ，且 $\overrightarrow{O N}+3 \overrightarrow{O M}=4 \overrightarrow{O F}$（ $O$ 为坐标原点），则双曲线 $C$ 的离心率为

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【37484】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 填空题 若不等式 $(-1)^n a<2+\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 对于任意正整数 $n$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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【37483】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 填空题 若曲线 $y=f(x)=\ln x+\frac{3}{2} x$ 在 $x=2$ 处的切线的倾斜角为 $\alpha$ ，则 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=$

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【37482】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 多选题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+2}\left(a_{n+1}-a_n\right)=a_n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，记 $T_n=a_1 a_2+a_2 a_3 +\cdots+a_n a_{n+1}, T_{10}=\frac{10}{11}$ ，则

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【37481】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 多选题 已知曲线 $C: y^2=|x|+1$ ，则下列判断正确的是

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【37480】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 多选题 以下四个命题表述正确的是

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【37479】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 单选题 已知某正三棱柱的外接球的表面积为 $8 \pi$ ，则该正三棱柱的体积的最大值为

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【37478】 【 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试】 单选题 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(\sin x-\cos x), x \in(0,2013 \pi)$ ，则函数 $f(x)$ 的极大值之和为

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