【37526】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_3\right)^2+\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)^2+\left(x_1-a x_2-2 x_3\right)^2$ ． （1）求方程 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解． （2）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形． （3）当 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 有非零解时，确定常数 $a$ ，使矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 为正定矩阵，并求二次型 $g(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 在 $x^{\mathrm{T}} x=2$ 下的最大值．

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【37525】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 解答题 已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x}{n^\alpha}=A \neq 0$ ． （1）试确定 $\alpha$ 和 $A$ 的值． （2）证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n^{\alpha-1}}{\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ 收敛，并求其和．

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【37524】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 解答题 计算 $I=\iint_D\left(x^3 \cos y+x^2+y^2-\sin x-2 y+1\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+(y-1)^2 \leqslant\right. \left.2, x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ．

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【37523】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 解答题 某企业生产的一种产品同时在两个市场销售，销售量分别为 $Q_1$ 和 $Q_2$ ，两个市场的价格函数分别为 $$ p_1=120-5 Q_1 \text { 和 } p_2=200-20 Q_2 \text {. } $$ 设总成本函数为 $$ C=35+40\left(Q_1+Q_2\right) . $$ 企业应向每个市场各投人多少产品，使获得的总利润最大，最大总利润为多少？

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【37522】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 解答题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．

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【37521】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 填空题 设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布．令 $\left\{\begin{array}{l}U=|X+Y| \\ V=|X-Y|\end{array}, F(u, v)\right.$ 是 $(U, V)$ 的联合分布函数，则 $F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=$

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【37520】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量。已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$

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【37519】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 填空题 设 $a>0, b>0, f(x, y)=\max \left\{\mathrm{e}^{b^2 x^2}, \mathrm{e}^{a^2 y^2}\right\}$ ，则 $\int_0^a \mathrm{~d} x \int_0^b f(x, y) \mathrm{d} y=$

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【37518】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 填空题 设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是

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【37517】 【 李永乐武忠祥王式安宋浩罗帆薛威周洋鑫贺金陵姜晓千等编2026学年考研数学六套卷数学三模拟试卷第一套卷】 填空题 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，且满足 $$ f(x)=x^2+\mathrm{e}^{-3 x^2} \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\left[1-\sin ^6(\pi x)\right] \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x $$ 则 $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=$

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