【37616】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=3, \frac{S_n}{n}=\frac{S_{n-1}}{n-1}+1(n \geq 2)$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）令 $b_n=2^n \cdot a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37615】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=3, a_{n+1}=a_n+4 n+3$ ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n=c \cdot 3^{n+1}-\frac{3}{2} \cdot n \in \mathrm{~N}^*$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）若数列 $\left\{\frac{a_n}{n b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，试证明 $T_n<2$ ．

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【37614】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 3 的等差数列，数列 $\left\{b_n\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且满足 $a_1+a_3=b_1+b_2+b_3, a_2+a_4=b_2+b_4$ ．将数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列 $\left\{c_n\right\}$ ． （1）证明：$c_n=b_{2 n}$ ； （2）求数列 $\left\{a_n c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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【37613】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_2=1,2 S_n=n a_n$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37612】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 设 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{n a_n}{3}$ ．已知 $a_1, 3 a_2, 9 a_3$ 成等差数列． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）记 $S_n$ 和 $T_n$ 分别为 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_n<\frac{S_n}{2}$ ．

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【37611】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n^2+2 a_n-n=2 S_n$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=3^{a_n}-1$ ，若数列 $\left\{c_n\right\}$ 满足 $c_n=\frac{b_n+1}{b_n \cdot b_{n+1}}$ ，求证：$c_1+c_2+...+c_n<\frac{1}{4}$ ．

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【37610】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $a_1=\frac{1}{2}, a_n+S_{n-1} S_n=0(n \geq 2)$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{(2 n+1) a_n^2\right\}$ 的前 $n$ 项和．

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【37609】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 （1）求证：数列 $\left\{\frac{2}{a_n-3}\right\}$ 是等差数列； （2）记数列 $b_n=\left(a_n-3\right)\left(a_{n+1}-3\right)$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37608】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 已知在等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1+a_5=18, a_6=15$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{n-1} a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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【37607】 【 裂项相消求和与错位相减求和】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $(n+3) S_n=n S_{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$，且 $a_1=2$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求证：$\frac{1}{\sqrt[4]{a_1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{a_n}}>2 \sqrt{n+1}-2$ ．

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