【37766】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 设正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n=\frac{2 a_{n+1}}{1-a_{n+1}^2}, n \in \mathbf{N}^*$ 。数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $a_n=\tan x_n$ ，其中 $x_n \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), n \in \mathbf{N}^*$ 。已知如下结论：当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时， $\sin x<x<\tan x$ ． （1）求 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式． （2）证明：$n-\frac{\pi^2}{12}<\frac{1}{a_1^2+1}+\frac{1}{a_2^2+1}+...+\frac{1}{a_n^2+1}<n$ ．

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【37765】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 和等差数列 $\left\{b_n\right\}$ 中，$a_1=2 b_1=2, a_2=2 b_2, a_3=2 b_3+2$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）令 $c_n=\frac{b_n^2}{a_n}, n \in \mathrm{~N}^*$ ，记数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_n$ ，证明：$T_n \leq \frac{9}{16}$ ．

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【37764】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=n-a_n$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，且 $2 b_n=(n-2)\left(a_n-1\right)$ ，若 $T_n \geq \lambda b_n$ 对于 $n \in \mathbf{N}^*$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．

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【37763】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=2, a_{n+1}=S_n+n$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设单调递增等差数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_2=3$ ，且 $a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+\frac{1}{2} b_3$ 成等比数列． （i）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （ii）设 $T_n=\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+...+\frac{1}{b_n^2}$ ，试确定 $T_n$ 与 $\frac{3}{4}$ 的大小关系，并给出证明．

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【37762】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\frac{1}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若 $\frac{5 m-2}{4}<T_n<5 m$ 对一切 $n \in \mathrm{~N}^*$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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【37761】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=4$ ，当 $n \geq 2$ 时，$a_n-4 a_{n-1}=-\frac{4^n}{n(n-1)}$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）已知数列 $b_n=n a_n-1$ ，证明：$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_n}<\frac{4}{9}$ ．

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【37760】 【 数列求和之不等式综合】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{2 n+1}=a_{2 n}+1, a_{2 n}=2 a_{2 n-1}$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $T_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$ ，求证：$T_{2 n}<3$ ．

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【37759】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 解答题 设直线 $y=t x(0<t<1)$ 与抛物线 $y=x^2$ 所围成的图形面积为 $S_1$ ，它们与直线 $x=1$ 所围成的图形面积为 $S_2$ ． 1）试确定 $t$ 的值，使 $S_1+S_2$ 达到最小，并求出最小值； 2）求该最小值所对应的平面图形围绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积． [img=/uploads/2026-03/313677.jpg][/img]

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【37758】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 解答题 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上满足条件 $f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)<0$ ，且 $f(0)=1 . P$ 为曲线 $f(x)$ 上一点，其横坐标为 $x$ ．曲边三角形 $P A B$（如图阴影部分）面积 $S=\frac{2}{3} x^3$ ，试求 $f(x)$ ． [img=/uploads/2026-03/b855fb.jpg][/img]

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【37757】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 解答题 有一个上大下小的圆锥形水池，池口直径 20 米，深 15 米．池内盛满了水，求将水全部抽到池外所做的功．

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