【37756】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 证明题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $$ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(b) $$ 求证：在 $(a, b)$ 至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．

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【37755】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 证明题 设偶函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\phi(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t$ ，试证明 $\phi(x)$ 为偶函数．

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【37754】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 求微分方程 $y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+6 y=6 x^2-2 x-1$ 的通解．

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【37753】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1<x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 试计算定积分 $\int_0^2 f(x) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．

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【37752】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 求不定积分 $\int \frac{\arccos 3 x}{\sqrt{1-9 x^2}} \mathrm{~d} x$ ．

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【37751】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 确定函数 $f(x)=x|x-2|$ 的凹凸性，并求拐点．

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【37750】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 求由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 所确定的函数 $y(x)$ 的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ ．

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【37749】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 设 $\phi(x)$ 及 $\psi(x)$ 均为可导函数，$y(x)=\sqrt{\phi^2(x)+\psi^2(x)}$ ，求 $\mathrm{d} y$

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【37748】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 设 $g(x)=f\left(\phi^2(x)-\phi\left(x^2\right)\right)$ ，其中 $f(u), \phi(x)$ 都是可导函数，求 $g^{\prime}(x)$

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【37747】 【 武汉大学《高等数学J》第一学期期末考试试卷】 填空题 设 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{f(2-x)-1}$ ．

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