【37826】 【 2025-2026学年高二上学期江西省多校联考1月质量检测数学试题（人教A版） 】 单选题 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ，则 $a_3=$

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【37825】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 （重庆•高考真题）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=1, a_2=\frac{5}{3}, a_{n+2}=\frac{5}{3} a_{n+1}-\frac{2}{3} a_n(n=1,2, ...)$ ． （1）令 $b_n=a_{n+1}-a_n(n=1,2, ...)$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{n a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．

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【37824】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 （湖北•高考真题）设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=2 n^2,\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，且 $a_1=b_1, b_2\left(a_2-a_1\right)=b_1$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37823】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 （浙江·高考真题）设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_3=4, a_4=S_3$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：对每 $n \in \mathbf{N}^*, S_n+b_n, S_{n+1}+b_n, S_{n+2}+b_n$ 成等比数列． （1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）记 $C_n=\sqrt{\frac{a_n}{2 b_n}}, n \in \mathbf{N}^*$ ，证明：$C_1+C_2+\mathrm{L}+C_n<2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^*$ ．

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【37822】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 （山东•高考真题）已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n 项和 $S_n=3 n^2+8 n,\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_n=b_n+b_{n+1}$ ． （I）求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （II）令 $c_n=\frac{\left(a_n+1\right)^{n+1}}{\left(b_n+2\right)^n}$ ．求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 n 项和 $T_n$ ．

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【37821】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 （广东•高考真题）已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $S_n{ }^2-\left(n^2+n-3\right) S_n-3\left(n^2+n\right)=0, n \in N^*$ ， （1）求 $a_1$ 的值； （2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （3）证明：对一切的正整数 $n$ 都有 $\frac{1}{a_1\left(a_1+1\right)}+\frac{1}{a_2\left(a_2+1\right)}+\mathrm{L}+\frac{1}{a_n\left(a_n+1\right)}<\frac{1}{3}$

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【37820】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n 项和为 $S_n$ ，已知 $a_1=10, a_2$ 为整数，且 $S_n \leq S_4$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{1}{a_n a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 n 项和 $T_n$ ．

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【37819】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1$ ，且满足 $2 S_n=a_n \cdot(n+1)$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，当 $n \geq 2$ 时，$b_n=\frac{1}{a_{n-1} \cdot a_n \cdot a_{n+1}}$ ．若对于任意 $n \in \mathbf{N}^*$ ，有 $T_n<1$ ，求 $b_1$ 的取值范围。

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【37818】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 已知 $\left\{a_n\right\}$ 为正项等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 为正项等比数列，其中 $a_2=3, b_1=a_1$ ，且 $a_2, a_3+1, a_5+3$ 成等比数列， $b_1+b_2+b_3=13$. （1）求 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{a_n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．

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【37817】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 设 $\left\{a_n\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_1=1, a_2$ 为 $a_3, a_4$ 的等差中项． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\left|(2 n-10) a_n\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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