【37816】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 已知 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 都是正项数列，$\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, n \in \mathbf{N}^*$ ，且满足 $2 S_n=a_n\left(a_n+1\right)$ ，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=a_1+1, \quad b_1+b_2=b_3-2$. （1）求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）记数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $M_n$ ，求满足不等式 $M_n>520$ 的自然数 $n$ 的最小值．

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【37815】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, 2 S_n=a_{n+1}-3$ ，且 $a_1=3$ ． （1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）已知 $b_n=\left\{\begin{array}{l}\log _{\frac{1}{3}} a_n, n \text { 为奇数 } \\ a_n, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37814】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=2 a_n+1$ ． （1）证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{a_n+1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37813】 【 数列求和综合训练(提高版)】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2, n \in \mathrm{~N}^*, a_1=5$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项； （2）设 $b_n=\frac{2 a_n}{a_n^2-1}, S_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，求证 $S_n<\frac{1}{2}$ ．

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【37812】 【 李良高等数学辅导讲义-强化篇(多元微分)】 填空题 $\left. \operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$

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【37811】 【 李良高等数学辅导讲义-强化篇(多元微分)】 单选题 函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量 $\boldsymbol{n}=\{1,2,2\}$ 的方向导数为

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【37810】 【 李良高等数学辅导讲义-强化篇(多元微分)】 解答题 求曲线 $x^3-x y+y^3=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

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【37809】 【 李良高等数学辅导讲义-强化篇(多元微分)】 解答题 求函数 $f(x, y)=\left(y-x^2\right)\left(y-x^3\right)$ 的极值．

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【37808】 【 李良高等数学辅导讲义-强化篇(多元微分)】 单选题 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$ ，则

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【37807】 【 李良高等数学辅导讲义-强化篇(多元微分)】 解答题 设 $f(u)$ 具有二阶连续导数，且 $g(x, y)=f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{x}{y}\right)$ ，求 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ ．

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