【39636】 【 同济大学《二重积分与三重积分》同步训练】 填空题 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4 ; x^2+y^2+z^2 \geq 2 z$ ．则 $I=\iiint_{\Omega}\left(2+x \mathrm{e}^{x^2+y^2+z^2}\right) \mathrm{d} V=$

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【39635】 【 同济大学《二重积分与三重积分》同步训练】 填空题 $D$ 是由 $x=\sqrt{2 y-y^2}$ 以及 $y=x$ 所围的有界闭区域， $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则积分 $I=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 化成直角坐标下先对 $x$ 再 $y$ 的积分时 $I=$ $\_\_\_\_$ ；化成极坐标下的二次积分时 $I=$

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【39634】 【 同济大学《二重积分与三重积分》同步训练】 填空题 设 $D$ 是由直线 $y=x, 2 x-3 y+2=0$ 以及 $x$ 轴所围成的有界闭区域，$f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则积分 $I=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 化成先对 $x$ 再对 $y$ 的二次积分时 $I=$ $\_\_\_\_$ ；化成先对 $y$ 再对 $x$ 的二次积分时 $I=$

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【39633】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 解答题 设有 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right)$ ，称 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=a_1 b_1+ a_2 b_2+\cdots+a_n b_n$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的内积，当 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=0$ ，称向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 正交．设 $S_n$ 为全体由 -1 和 1 构成的 $n$ 元数组对应的向量的集合． （1）若 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$ ，写出一个向量 $\boldsymbol{b}$ ，使得 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=0$ ． （2）令 $B=\left\{[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}] \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in S_n\right\}$ ．若 $m \in B$ ，证明：$m+n$ 为偶数． （3）若 $n=4, f(4)$ 是从 $S_4$ 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}]=0$ ，猜测 $f(4)$ 的值，并给出一个实例．

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【39632】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 解答题 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+(a-2) \mathrm{e}^x-2 a x$ ． （1）若曲线 $y=f(x)$ 在 $\left(0, a-\frac{3}{2}\right)$ 处的切线方程为 $4 a x+ 2 y+1=0$ ，求 $a$ 的值及 $f(x)$ 的单调区间． （2）若 $f(x)$ 的极大值为 $f(\ln 2)$ ，求 $a$ 的取值范围． （3）当 $a=0$ 时，求证：$f(x)+5 \mathrm{e}^x-\frac{5}{2}>\frac{3}{2} x^2+x \ln x$ ．

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【39631】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 解答题 已知抛物线 $C: x^2=-2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F(0$ ， $-2)$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\left(x_2>\right. \left.x_1\right), C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ． （1）求 $x_1 x_2$ 的值． （2）若点 $D$ 是抛物线 $C$ 上位于直线 $A B$ 上方的点，点 $D$处的切线与 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ，求证：$|M P|$ ． $|M D|=|A M| \cdot|D N|$.

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【39630】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 解答题 如图，在圆柱 $O_1 O_2$ 中，正方形 $A B C D$ 是该圆柱的轴截面，$B C$ 为圆柱下底面的直径，$E$ 为底面圆周上一点，点 $E$ 与 $B, C$ 不重合，且 $B C=4$ ． （1）求证：平面 $D C E \perp$ 平面 $A B E$ ． （2）若 $C E$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $A-D E-B$ 的余弦值． [img=/uploads/2026-04/0a58c3.jpg][/img]

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【39629】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 解答题 某超市推出了一项优惠活动，规则如下： 规则一：顾客在本店消费满 100 元，返还给顾客 10 元消费券； 规则二：顾客在本店消费满 100 元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值 20 元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立． （1）某顾客在该超市消费了 300 元，进行了 3 次抽奖，每次中奖的概率均为 $p$ ．记中奖 2 次的概率为 $f(p)$ ，求 $f(p)$ 取得最大值时，$p$ 的值 $p_0$ ． （2）若某顾客有 3 次抽奖的机会，且中奖率均为 $p_0$ ，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．

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【39628】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 填空题 过双曲线 $C: \frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的右焦点 $F$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，$O$ 为原点，线段 $O M$ 的中点与线段 $A B$ 的中点重合，则四边形 $O A M B$ 面积的取值范围是

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【39627】 【 万象思维2025《高考数学押题卷》】 填空题 在平行四边形 $A B C D$ 中，$A B=2 A D=4, \angle B A D=60^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，$A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=$

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