【29590】 【 高中数学第一轮复习 空间角与距离的计算2】 解答题 如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$\triangle P A B$ 是边长为 2 的等边三角形．梯形 $A B C D$ 满足 $B C=C D=1, A B / / C D$ ， $A B \perp B C$ ． （1）求证：$P D \perp A B$ ； （2）若 $P D=2$ ，求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离． [img=/uploads/2025-07/a33e6c.jpg][/img]

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【29589】 【 高中数学第一轮复习 空间角与距离的计算2】 解答题 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，$A B \perp A C$ ，且 $A C=A B=A A_1=2$ ． （1）求证：$A_1 B \perp B_1 C$ ； （2）$M, N$ 分别为棱 $C C_1, B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_1 B_1$ 上，是否存在点 $P$ ，使平面 $P M N$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{21}}{21}$ ，若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由． [img=/uploads/2025-07/3dd4f8.jpg][/img]

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【29588】 【 高中数学第一轮复习 空间角与距离的计算2】 解答题 四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，$P A=P D=\sqrt{5}$ ，点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的射影为点 $O$ ，且 $P O=2$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点． （1）求证：$A D \perp P M$ ； （2）在线段 $O M$ 上，是否存在点 $N$ ，使二面角 $A-P B-N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，请确定点 $N$ 的位置，若不存在，请说明理由． [img=/uploads/2025-07/e77ad9.jpg][/img]

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【29587】 【 高中数学第一轮复习 空间角与距离的计算2】 解答题 如图，$P$ 为圆锥的顶点，$O$ 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 $A B=4$ ，母线 $P H=2 \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点，四边形 $O B C H$ 为正方形． （1）设平面 $P O H \cap$ 平面 $P B C=l$ ，求证：$l / / B C$ ； （2）设 $D$ 为 $O H$ 的中点，$N$ 是线段 $C D$ 上的一个点，当 $M N$ 与平面 $P A B$ 所成的角最大时，求 $M N$ 的长 [img=/uploads/2025-07/260f4b.jpg][/img]

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【29586】 【 高中数学第一轮复习 空间角与距离的计算2】 解答题 如图，在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中， $ A B C$ 是边长为 2 的等边三角形，$B C \perp B B_1, C C_1=\sqrt{2}, A C_1=\sqrt{6}$ ． （1）证明：平面 $A B C \perp$ 平面 $B B_1 C_1 C$ ； （2）$M, N$ 分别是 $B C, B_1 C_1$ 的中点，$P$ 是线段 $A C_1$ 上的动点，若二面角 $P-M N-C$ 的平面角的大小为 $30^{\circ}$ ，试确定点 $P$ 的位置． [img=/uploads/2025-07/6ee716.jpg][/img]

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【29585】 【 高中数学第一轮复习 空间角与距离的计算2】 解答题 如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ． （1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ； （2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值． [img=/uploads/2025-07/452192.jpg][/img]

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【29584】 【 第一讲 新文道随机事件与概率(基础训练)】 填空题 3 人独立地去破译一密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，则该密码被译出的概率为

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【29583】 【 第一讲 新文道随机事件与概率(基础训练)】 填空题 已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(A)=0.4 P(B)=0.3, P(C)=0.4$ ， $P(C \mid B)=0.2$ ，则 $P(C \mid A \cup B)=$

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【29582】 【 第一讲 新文道随机事件与概率(基础训练)】 解答题 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03 ，第二台出现废品的概率为 0.02 ，加工出来的零件放在一起，已知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的两倍，求： （1）从加工出来的零件中任取一件是合格品的概率； （2）若取出来是废品，它是第二台加工的概率．

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【29581】 【 第一讲 新文道随机事件与概率(基础训练)】 解答题 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次抽 1 个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为

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