【39806】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 解答题 设二次型 $$ \begin{aligned} & f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3 \\ & g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3 \end{aligned} $$ （1）求一个可逆矩阵 $C$ ，使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $x=C y$ 化为标准形． （2）记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩形为 $B$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T\left(C^T B C\right) Q$ 为对角矩阵。 （3）求一个可逆矩阵 $T$ ，使得在合同变换 $x=T y$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化为标准形．

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【39805】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 解答题 若函数 $f(x):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个非负凹函数，且 $f(0)=1$ ，证明： $$ \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{2}{3}\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)^2 $$

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【39804】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 解答题 设函数 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty+\infty)$ 上二阶连续可导，$n$ 是正整数，证明：$u=x^n \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足： $$ x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2 x y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=n(n-1) u $$

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【39803】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 解答题 设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上二阶可导，且满足： $$ f(a)=f(b)=0 $$ 证明：对任意的 $x \in(a, b)$ ，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(x)=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2}(x-a)(x-b) . $$

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【39802】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 解答题 讨论函数 $$ f(x, y)=a x+a y+b \sin x \sin y,(a>0, b>0) $$ 极值的存在性；如果存在，请写出解答过程；如果不存在，请说明理由．

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【39801】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 解答题 设 $a_1, b_1$ 均为某个实数，记作： $$ a_n=\int_0^1 \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, \quad b_n=\int_0^1 \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x $$ 其中 $n \geq 2, n \in \mathbb{N}_{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n b_n$ ．

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【39800】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 填空题 已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \\ a & b & c\end{array}\right)$ ．当 $(a, b, c)=$ $\_\_\_\_$时，矩阵方程 $A X=B$ 有无穷多解

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【39799】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 填空题 设 $\rho=\rho(x)$ 是曲线 $y=\sqrt{x}$ 上任意一点 $M(x, y),(x \geq 1)$ 处的曲率半径， $s=s(x)$ 是曲线上介于点 $A(1,1)$ 与 $M$ 之间的弧长，则 $\left.\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} s}\right|_{x=1}=$

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【39798】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 填空题 设函数 $f(x)=\cos (a x) \cos (b x)$ ，求 $f^{(2025)}(x)=$

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【39797】 【 2026年八一考研数学模拟卷(数学二)】 填空题 若 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{n \cdot(\sqrt[n]{a}-1)}=$

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