【30637】 【 正态分布】 单选题 则下列结论中不正确的是

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【30636】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $F(x)=-\frac{1}{2}\left(1+ e ^{-1}\right)+\int_{-1}^1|x-t| e ^{-t^2} d t$ ，求证：在区间 $(-1,1)$ 内，$F(x)$ 有且仅有两个实根．

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【30635】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内可导，证明 $f(x)$ 的任何两个不同的零点之间一定有函数 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 的一个零点，并由此证明方程 $x \ln (1+x)+\frac{x-1}{x+1}=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实数根．

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【30634】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $$ f^{\prime}(a)(b-a)<f(b)-f(a)<2\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right] . $$ （1）记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，证明：存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $F\left(x_0\right)=$ 0； （2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}$ ．

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【30633】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 （1）设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \int_0^x f(x-t) d t=\sin ^4 x$ ，求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的平均值； （2）（浙江省 2002 年竞赛题）设连续函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 内满足 $f(x)\left[\int_0^x f(t) d t+1\right]=\frac{x e ^x}{2(1+x)^2}$ ，求 $f(x)$ ．

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【30632】 【 杨超《考前必做139》道题目-高等数学2】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（1）存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=2$ ； （2）存在 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\xi)=f(\eta) f^{\prime}(\eta)$ ．

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【30631】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可导，$f(0)=0$ ，求证： $\exists \eta \in[0,1]$ ，使 $f^{\prime}(\eta)=2 \int_0^1 f(x) d x$ 。

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【30630】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 （积分第二中值定理）（1）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上非负、单调减少，且具有连续导数．证明：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x . $$ （2）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，函数 $g$ 在 $[a, b]$ 上单调并具有连续导数．证明：存在 $\xi \in [a, b]$ ，使得 $$ \int_a^b f(x) g(x) d x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) d x+g(b) \int_{\xi}^b f(x) d x . $$

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【30629】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $$ f(x)= \begin{cases}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\cos \frac{x}{n}+\cos \frac{2 x}{n}+\cdots+\cos \frac{n-1}{n} x\right), & x>0 \\ \lim _{n \rightarrow}\left[1+\frac{1}{n!}\left(\int_0^1 \sqrt{1+x^3+x^5} d x\right)^n\right], & x=0 \\ f(-x), & x<0\end{cases} $$ （1）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性； （2）求 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的最大值．

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【30628】 【 杨超《考前必做100》道题目-高等数学】 解答题 设 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内可导，$f(0)=1, f(x)>0$ ，且满足 $$ \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f\left(x+h \cos ^2 x\right)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{x \cos ^2 x+\tan x} \text {, } $$ 求 $f(x)$ 的表达式及其极值．

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