【39705】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 证明题 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，证明 $\mathrm{R}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+\mathrm{R}(\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E})=n$ ．

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【39704】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=6 x_1^2+5 x_2^2+7 x_3^2-4 x_1 x_2+4 t x_1 x_3$ ． （1）当 $t$ 取何值时，该二次型正定？ （2）取 $t=1$ ，用正交变换法将 $f$ 化成标准型，写出标准型及所用的正交变换

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【39703】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 $\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{c}-2 x_1+x_2+x_3=-2 \\ x_1-2 x_2+x_3=\lambda \\ x_1+x_2-2 x_3=\lambda^2\end{array}\right.$ 无解、有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解

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【39702】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 求解齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+2 x_2+2 x_3+x_4=0 \\ 2 x_1+x_2-2 x_3-2 x_4=0 \\ x_1-x_2-4 x_3-3 x_4=0\end{array}\right.$

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【39701】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 求向量组 $$ \alpha_1=(1,1,4,2)^T, \alpha_2=(1,-1,-2,4)^T, \alpha_3=(-3,2,3,-11)^T, \alpha_4=(1,3,10,0)^T $$ 的一个极大无关组．

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【39700】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 求解矩阵方程 $A X=A+X$ ，其中 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$

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【39699】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$ ，求 $3 A B-2 A$ 及 $A^T B$

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【39698】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 解答题 计算下列行列式： （1）$\left|\begin{array}{cc}1 & \log _b a \\ \log _a b & 1\end{array}\right|$ ； （2）$\left|\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0\end{array}\right|$ ； （3）$\left|\begin{array}{llll}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right|$ ．

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【39697】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 填空题 已知向量组 $\alpha_1=(2,3,4,5)^T, \alpha_2=(3,4,5,6)^T, \alpha_3=(4,5,6,7)^T, \alpha_4=(5,6,7,8)^T$ ，则 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)=$

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【39696】 【 南开大学《线性代数A》期末考试试卷与答案】 填空题 若三阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^*$ ，已知 $|A|=\frac{1}{2}$ ，求 $\left|(3 A)^{-1}-2 A^*\right|=$

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