【40654】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $\mathbb{Q}$ 为 $\mathbb{R}$ 中的有理点集．对于任意的 $x, y \in \mathbb{R}$ 满足 $x-y \in \mathbb{Q}$ ，则记 $x \sim y$ ．根据这一等价关系＂$\sim$＂，将 $\mathbb{R}$ 中的点分类，在每个等价类中诜取一代表元于 $[0,1]$ ，组成的点集记为 $V$ ．任取 $r \in \mathbb{Q}$ ，试证明：$V \cup(V+\{r\})$ 仍为不可测集．

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【40653】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}^n$ 且 $m^*(E)<\infty$ ．试证明：存在 $G_\delta$ 型集 $H \supset E$ 使得对于任意的可测集 $A \subset \mathbb{R}^n$ ， $$ m^*(E \cap A)=m(H \cap A) . $$

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【40652】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}$ 为可测集且 $0<m(E)<\infty$ ，试证明：对于任意的 $\alpha \in\left(0, m^{\prime}(E)\right)$ ，存在无内点的有界闭集 $F \subset E$ 使得 $m(F)=\alpha$ ．

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【40651】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}$ 头正测集，试证明：存在 $x \in E$ 使得对于任意的 $\delta>0$ 使得 $$ m(E \cap(x-\delta, x+\delta))>0 $$

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【40650】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $A, B \subset \mathbb{R}^n$ 为非空点集，试证明： $$ d(A, B)=\inf _{x \in \mathbb{R}^n}[d(x, A)+d(x, B)] $$

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【40649】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 试证明 $\mathbb{R}^n$ 中的任意非空开集均可表示为可列个闭方体的并集

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【40648】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $A \subset \mathbb{R}$ 为由孤立点组成的点集． （i）试证明 $A$ 为可数集； （ii）试问 $A^{\prime}$ 是否一定为可数集？（肯定的回答请给予证明；否定的回答请举出反例）

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【40647】 【 中国人民大学2025-2026学年春季学期《实变函数》期中考试试卷(无答案)】 解答题 设 $A$ 为无限集，证明存在 $A$ 的一列互不相交的无限子集 $\left\{A_k\right\}$ ，使得 $$ A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k . $$

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【40646】 【 2026年上海市高考物理试卷】 解答题 六、电磁测速 6单极测速发电机是电机学领域的一种测速元件，采用电磁感应原理工作。其原理为圆柱式或圆盘式电枢在恒定匀强磁场中旋转产生感应电势，输出特性与转速呈线性关系。该装置通常采用圆筒式空芯转子与永磁结构，结合电刷引流装置优化性能。该发电机通过无换向器设计实现无纹波直流电压输出，避免换向火花干扰，且输出电压对称性佳。其瞬态响应好、灵敏度高，适用于动态测速场景。由于无齿槽结构，最高转速仅受轴承限制。根据《湖南大学学报（自然科学版）》相关研究，该装置在稳态和瞬态测速中均表现出优良特性，可应用于现代快速驱动系统的动态参数测量。 （1）某齿轮式电磁转速传感器的结构如下：金属齿轮的每个齿上都固定有可被磁化的小磁铁，齿轮旁放置一个条形永磁铁，永磁铁上绕有闭合线圈。已知初始时刻，齿轮的一个金属齿正对着永磁铁；当齿轮转动时，金属齿会周期性地靠近、远离永磁铁，导致穿过线圈的磁通量周期性的发生变化。则在磁通量变化的一个周期内，$A 、 B$ 的电势关系是（ $\_\_\_\_$ ） [img=/uploads/2026-06/e492d0.jpg][/img] $A \cdot \varphi_A>\varphi_B$ B．$\varphi_A<\varphi_B$ $C$ ．先 $\varphi_A>\varphi_B$ ，后 $\varphi_A<\varphi_B$ $D$ ．先 $\varphi_A<\varphi_B$ ，后 $\varphi_A>\varphi_B$ （2）已知上述齿轮式传感器中，感应电动势变化的周期为 $2 t_0$ ，齿轮共有 $N$ 个齿，车轮的直径为 $D$ 。若该齿轮与汽车的车轮属于同轴转动，求汽车的速度？ [img=/uploads/2026-06/0c24a6.jpg][/img] （3）现经过半波整流器后，电压传感器的示数如图所示，求有效电压 $U$ ？ [img=/uploads/2026-06/d07a19.jpg][/img] （4）现将传感器改为圆柱笼式结构：半径为 $R$ 的轻质金属圆柱笼，其侧面曲面上等间距的固定有三根完全相同的金属细条（金属条夹角为 $120^{\circ}$ ）。在圆柱笼的一侧，有一个垂直于圆柱轴线的小范围匀强磁场区域，有且只有一根金属条会在磁场区域内。当圆柱笼绕中心轴转动时，每根金属细条进入磁场区域时都会切割磁感线产生感应电动势。 [img=/uploads/2026-06/22e93a.jpg][/img] ① 某一时刻，恰好有一根金属细条完全处于磁场中，此时测得圆柱笼两个圆形端面之间的电势差为 $U$ 。求该金属细条产生的感应电动势大小 $E$ ？ ② 已知磁场的磁感应强度为 $B$ ，金属细条的长度为 $L$ ，电阻为 $r$ ，电路其余部分电阻不计。求此时该金属细条受到的安培力大小？ ③ 若汽车从某一时刻做匀加速运动，测得相邻两次电压脉冲峰值分别为 $U_1$ 和 $U_2$ 。则下一次电压脉冲的峰值最接近下列哪个选项（ $\_\_\_\_$ ） A． $2 U_2-U_1$ B．$\frac{U_2^2}{U_1}$ C．$\sqrt{\frac{U_1^2+U_2^2}{2}}$ D．$\sqrt{2 U_2^2-U_1^2}$ （5）已知圆柱笼的半径为 $R$ ，车轮的半径为 $n R$ ，结合上一问测得的相邻脉冲峰值电压 $U_1$ 和 $U_2$ ，求汽车的加速度大小？

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【40645】 【 2026年上海市高考物理试卷】 解答题 松鼠是松鼠科物种的统称，有 63 属 285 种。松鼠的体形细长，后肢更长；前后肢间无皮翼，四肢强健；眼大而明亮，耳朵长，耳尖有一束毛，冬季尤其显著；夏毛一般为黑褐色或赤棕色，冬毛多呈灰色、烟灰色或灰褐色，腹毛为白色；指、趾端有尖锐的钧爪，尾毛多而且蓬松，常朝向背部反卷。松鼠雌性个体比雄性个体稍重一些。因为松鼠的样子像老鼠，而且大多数喜欢啃食松果之类的坚果，习惯生活在树木尤其是松树上，故名松鼠。 （1）一只松鼠在树枝间跳跃，要从这个树枝节点以一定水平初速度跳到另外一个树枝节点上：已知两个节点的水平距离为 $L$ ，竖直方向的高度为 $h$ ，不考虑空气阻力，求松鼠要完成这次跳跃所需的初速 度 $v$ ？（已知重力加速度为 $g$ ） [img=/uploads/2026-06/7510a3.jpg][/img] （2）又一只松鼠在一根与水平方向夹角为 $60^{\circ}$ 的倾斜树枝上，从静止开始沿树枝向上做匀加速直线运动；已知它在 $2 s$ 内沿树枝运动了 2 m 【重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，计算结果，保留2位有效数字】。 [img=/uploads/2026-06/bac0fd.jpg][/img] ① 求松鼠的加速度； ② 已知松鼠的质量为 0.3 kg ，求该过程中树枝对松鼠的作用力的大小。 （3）生物学家通过研究发现：当松鼠受到的平均作用力小于自身重力的 15 倍时，不会受到永久性伤害。某次实验中，一只质量为 0.3 kg 的松鼠从静止开始下落，其速度随位移的变化关系如图所示，重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。 [img=/uploads/2026-06/199a5f.jpg][/img] ① 求松鼠下落 10 m 的过程中，空气阻力对它做的功； ② 若松鼠与地面的作用时间为 90 ms ，请通过计算论证该松鼠落地后是否会受到永久性伤害？

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