单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
在曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 的所有切线中, 与平面 $x+2 y+z=4$ 平行的切线
$\text{A.}$ 只有 1 条.
$\text{B.}$ 只有 2条.
$\text{C.}$ 至少 3条.
$\text{D.}$ 不存在.
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则 ()
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+k y=0(0 < k < 1)$, 则以下选项中必定收敛的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} y(x) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{-\infty} y(x) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} x^2 y(x) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x^{-2} y(x) d x$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{2 n}(x-1)^{2 n}$ 在 $x=5$ 处条件收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2 n}^2(x-3)^{4 n+1}$ 的收敛区间为（ ）
$\text{A.}$ $(1,5)$
$\text{B.}$ $(-1,7)$
$\text{C.}$ $(-5,11)$
$\text{D.}$ $(-13,19)$
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，以下结论
（1）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在；
（3）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=a \neq 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 时无界；
（4）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 时有界。
正确的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}$ 上连续，且 $f(x, y)=f(y, x)$ ，则 $\iint_D f(x, y) d x d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1-1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{C.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n+1-i} f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^L f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
如果函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导且是以 $T$ 为周期的周期函数，又 $x_0$ 是 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上的最大值点，则下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 可能为零也可能小于零
$\text{B.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 总有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin (x t)}{t} d t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) d x=$
两根均匀细杆 $A B, C D$ 在一条水平线上，已知细杆 $A B$ 长 3 m ，线密度 $\rho_1=4 kg / m ; C D$ 长 6 m ，线密度 $\rho_2=2 kg / m$ ，两根细杆相邻两端点 $B, C$ 距离为 4 m ．有一单位质点位于 $B, C$ 之间，则质点距离端点 $B$ 为 $\qquad$ m ，可使得两根细杆对质点的引力相等．
函数 $f(x)=\frac{4+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{2-\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin |x|}{x}$ 的渐近线
差分方程 $2 y_{x+2}-2 \Delta^2 y_x-2 y_{x+1}+3 y_x=0$ 的通解为
设 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq t^2$ 上连续且 $f(0,0)=4$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{t-\ln (1+t)}=$
设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}=(x, 0, \cdots, 0, x)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $x < 0$ ；又设矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{E}+\frac{1}{x} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $x=$
已知向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=2$ 的特征向量，且向量 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则向量 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-2 x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ．
（1）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
（2）设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$ ，求正交变换 $x=Q y$ ，使得二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形。
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x
$$
（I）求函数 $f(x)$ 的表达式；
（II）记曲线 $y=f(x)$ 与 $y=-\frac{1}{4} \tan x$ 以及 $y$ 轴所围区域为 $D$ ，求区域 $D$ 绕直线 $y=-\frac{1}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
给定幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，其中 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=2, n a_n=a_{n-1}+n-1, n=1,2, \cdots$ ，试求其和函数 $S(x)$ ，其中 $x \in(-1,1)$ ．
设定义在右半平面 $(x>0)$ 的正值函数 $z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，并且满足
$$
z \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}, z(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, z(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}} .
$$
（1）求 $z(x, y)$ 的表达式；
（2）求 $z(x, y)$ 的极值．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．