单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立, 且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P\{|X-Y| < 1\}$
$\text{A.}$ 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 有关
$\text{B.}$ 与 $\mu$ 有关，与 $\sigma^2$ 无关
$\text{C.}$ 与 $\mu, \sigma^2$ 都有关
$\text{D.}$ 与 $\mu, \sigma^2$ 都无关
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(0,0 ; 1,4 ;-\frac{1}{2}\right)$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $\boldsymbol{X}$ 独立的是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X-Y)$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\boldsymbol{E}(|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}|)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\mathrm{e}}$
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,2), Y \sim N(-1,1)$,记 $p_1=P\{2 X>Y\} ， p_2=P\{X-2 Y>1\}$ ，则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $p_1 < p_2 < \frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $p_2 < p_1 < \frac{1}{2}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，令 $\boldsymbol{Z}=|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}|$ ，则下列随机变量与 $\boldsymbol{Z}$ 同分布的是（）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$
$\text{B.}$ $\frac{X+Y}{2}$
$\text{C.}$ $2 X$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$, 其中 $\rho \in(-1,1)$, 若 $a, b$ 为满足 $a^2+b^2=1$的任意实数, 则 $D(a X+b Y)$ 的最大值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $1+|\rho|$
$\text{D.}$ $1+\rho^2$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布律为
$$
P(X=k)=\frac{1}{2^k}, k=1,2, \ldots
$$
$Y$ 为 $X$ 被 3 除的余数，则 $E Y=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 相互独立，且
$$
X \sim B(1, p), Y \sim B(2, p), p \in(0,1)
$$
则 $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 与 $\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}$ 的相关系数为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $X$ 服从参数为 1 的指数分布， $Y$ 的概率分布为
$$
\begin{aligned}
& \quad P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p(0 < p < 1) . \\
& \text { 令 } Z=X Y ，
\end{aligned}
$$
(1) 求 $Z$ 的概率密度；
(2) $p$ 为何值时， $\boldsymbol{X}$ 与 $Z$ 不相关；
(3) $X$ 与 $Z$ 是否相互独立
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 < y < \sqrt{1-x^2}\right\}$ 上服从均匀分布，
$$
Z_1=\left\{\begin{array}{l}
1, X-Y>0 \\
0, X-Y \leq 0
\end{array}, Z_2=\left\{\begin{array}{l}
1, X+Y>0 \\
0, X+Y \leq 0
\end{array}\right.\right.
$$
(I) 求二维随机变量 $\left(Z_1, Z_2\right)$ 的概率分布;
(II) 求 $Z_1, Z_2$ 的相关系数.
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
\begin{aligned}
& \quad f(x)=\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2},-\infty < x < +\infty \\
& \text { 令 } Y=e^X \text {. }
\end{aligned}
$$
(1) 求 $X$ 的分布函数；
(2) 求 $Y$ 的概率密度;
（3） $\boldsymbol{Y}$ 的期望是否存在?
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 X 的关系为
$$
Y=\left\{\begin{array}{l}
0, x \leq 0 \\
x-100, x>100
\end{array}\right.
$$
, 设损失事件发生时, 投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, x>0 \\
0, x \leq 0
\end{array} .\right.
$$
(1)求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$
(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为 N 保险公司在一年内就这种损失事件产生次数记为 $M$ 。假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，M 服的理赔
从二项分布 $B ( n , p )$, 其中 $p=P(Y>0)$ 求 M 的概率分布.