一、单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
1. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
2. $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x d x$.
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x d x$.
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$.
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) d x$.
3. 设 $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) d x, J=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) d x, K=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) d x$, 则 $I, J, K$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $I < J < K$.
$\text{B.}$ $I < K < J$.
$\text{C.}$ $J < I < K$.
$\text{D.}$ $K < J < I$.
4. 下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} d x$.
$\text{B.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{ d x}{x \ln x}$.
$\text{C.}$ $\int_{ e }^{+\infty} \frac{ d x}{x(\ln x)^2}$.
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{ d x}{x \sqrt{\ln x}}$.
5. 设 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去间断点．
$\text{B.}$ 跳跃间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点．
二、填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
6. 函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$, 则 $f^{(n)}(0)=$
7. 设空间曲面 $y^2+2 z^2=3 x$, (1) 求曲面在点 $(1,1,-1)$ 处的切平面方程;
(2) 求曲面与 $2 x-3 y+5 z=4$ 的交线在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
8. 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．
9. $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{n\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)}=$
10. 曲线 $y=\tan x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为
三、解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
11. 求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
12. 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e^{x+y}+\sin (x y)=1$ 确定, 求 $y^{\prime}(x)$ 以及 $y^{\prime}(0)$.
13. 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x e^{-x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x-x^2}, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ 求 $\int_{-3}^1 f(x) d x$.
14. 求 $\int \frac{d x}{x(1+2 \ln x)}$
15. 计算由椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．
16. 设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 可导, 且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) d x$ 。 证明:
(1) $\exists \eta \in(0,2)$, 使 $f(\eta)=f(0)$;
(2) 对任意实数 $\lambda, \exists \xi \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi)-f(0))=0$
17. 已知上半平面内一曲线 $y=y(x) \quad(x \geq 0)$, 过点 $(0,1)$, 且曲线上任一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处切线斜率数值上等于此曲线与 $x$ 轴、 $y$ 轴、直线 $x=x_0$ 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和, 求此曲线方程.
18. 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)} \quad(n=1,2, \cdots)$, 证明 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
19. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减, 证明对任意的 $q \in[0,1]$, $\int_0^q f(x) d x \geq q \int_0^1 f(x) d x$.
20. 设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续, 且 $\int_0^\pi f(x) d x=0 \int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$,证明: 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$, 使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$. (提示: 设 $F(x)=\int_0^x f(x) d x$ )