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补考模拟卷

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

，则

x = 0

是

f (x)

的（）

A.

可去间断点．

B.

跳跃间断点．

C.

第二类间断点．

D.

连续点．

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2. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是:

A.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

B.

\ln (\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}})

C.

1 - e^{\sqrt{x}}

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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3. 设

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin x) d x, J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\cot x) d x, K = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\cos x) d x

, 则

I, J, K

的大小关系是

A.

I < J < K

B.

I < K < J

C.

J < I < K

D.

K < J < I

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lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} {(1 + \frac{2}{n})}^{2} \dots {(1 + \frac{n}{n})}^{2}}

等于

A.

\int_{1}^{2} \ln^{2} x d x

B.

2 \int_{1}^{2} \ln x d x

C.

2 \int_{1}^{2} \ln (1 + x) d x

D.

\int_{1}^{2} \ln^{2} (1 + x) d x

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5. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x} d x

B.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \ln x}

C.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x (\ln x)^{2}}

D.

\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设空间曲面

y^{2} + 2 z^{2} = 3 x

, (1) 求曲面在点

(1, 1, - 1)

处的切平面方程;
(2) 求曲面与

2 x - 3 y + 5 z = 4

的交线在点

(1, 1, 1)

处的切线方程。

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7. 求曲线

y = \frac{1}{x}

在点

(\frac{1}{2}, 2)

处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．

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lim_{n \to \infty} \frac{1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}}{n (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})} =

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9. 曲线

y = \tan x (0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{4})

绕

x

轴旋转一周所得旋转曲面的面积为

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10. 函数

f (x) = \frac{1}{1 - x}

, 则

f^{(n)} (0) =

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 求函数

y = \frac{2 x}{1 + x^{2}}

的极值与拐点.

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12. 设

f (x)

在

[0, 2]

上连续, 在

(0, 2)

可导, 且

2 f (0) = \int_{0}^{2} f (x) d x

。证明:
(1)

\exists η \in (0, 2)

, 使

f (η) = f (0)

;
(2) 对任意实数

λ, \exists ξ \in (0, 2)

, 使

f^{'} (ξ) + λ (f (ξ) - f (0)) = 0

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13. 设数列

{x_{n}}

满足

0 < x_{1} < 3, x_{n + 1} = \sqrt{x_{n} (3 - x_{n})} (n = 1, 2, \dots)

, 证明

{x_{n}}

收敛.

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14. 设函数

y = y (x)

由方程

e^{x + y} + \sin (x y) = 1

确定, 求

y^{'} (x)

以及

y^{'} (0)

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15. 设

f (x) = {\begin{cases} x e^{- x}, & x \leq 0 \\ \sqrt{2 x - x^{2}}, & 0 < x \leq 1 \end{cases}

求

\int_{- 3}^{1} f (x) d x

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16. 已知上半平面内一曲线

y = y (x) (x \geq 0)

, 过点

(0, 1)

, 且曲线上任一点

M (x_{0}, y_{0})

处切线斜率数值上等于此曲线与

x

轴、

y

轴、直线

x = x_{0}

所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和, 求此曲线方程.

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17. 设函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续且单调递减, 证明对任意的

q \in [0, 1]

\int_{0}^{q} f (x) d x \geq q \int_{0}^{1} f (x) d x

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18. 设函数

f (x)

在

[0, π]

上连续, 且

\int_{0}^{π} f (x) d x = 0 \int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = 0

,证明: 在

(0, π)

内至少存在两个不同的点

ξ_{1}, ξ_{2}

, 使

f (ξ_{1}) = f (ξ_{2}) = 0

. (提示: 设

F (x) = \int_{0}^{x} f (x) d x

)

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19. 求

\int \frac{d x}{x (1 + 2 \ln x)}

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20. 计算由椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

所围成的图形绕

x

轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．

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