一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x>0$ 时,曲线 $y=x \sin \frac{1}{x} $ （ ）
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线.
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐近线.
$\text{C.}$ 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
曲线 $y=e^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
曲线 $y=e^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1 条
$\text{B.}$ 2条
$\text{C.}$ 3 条
$\text{D.}$ 4 条
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x^2}}(\quad)$
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有铅直又有水平渐近线
$\text{D.}$ 既有铅直又有斜渐近线
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
下列曲线中有渐近线的是
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$
$\text{B.}$ $y=x^2+\sin x$
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$
$\text{D.}$ $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜斩近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $y=x^2 e^{-x^2}$ 的渐近线方程为
曲线 $y=(2 x-1) e^{\bar{x}}$ 的斜渐进线方程为
曲线 $y=\frac{x^2}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为
曲线 $y=\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程为
曲线 $y=\frac{2 x^3}{x^2+1}$ 的渐近线方程为
曲线 $y=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan \left(1+x^2\right)$ 的斜渐近线方程为
曲线 $y=x\left(1+\arcsin \frac{2}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}(x>0)$ 的斜渐近线方程.
已知 $f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$ ，求 $f(x)$ 的凹凸性及渐近线。
设 $y=y(x)$ 满足
$$
y^{\prime}+\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}, y(1)=3
$$
求曲线 $y=y(x)$ 的渐近线.
求曲线 $y=\frac{x^2 \arctan x}{x-1}-x$ 的渐近线方程.
求曲线 $y=x^2\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{ e }-1\right](x>0)$ 的斜渐近线.