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间断点

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

f (x) = \frac{x \ln | x |}{| x - 1 |} e^{\frac{1}{(x - 1) (x - 2)}}

的无穷间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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2. 函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} + 2}{x^{n} + 1}

的间断点及类型是

A.

x = 1

是第一类间断点,

x = - 1

是第二类间断点

B.

x = 1

是第二类间断点,

x = - 1

是第一类间断点

C.

x = \pm 1

均是第一类间断点

D.

x = \pm 1

均是第二类间断点

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3. 设

f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x^{2} - x - 2} \arctan \frac{1}{x}

, 则

A.

f (x)

有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点

B.

f (x)

有两个可去间断点,一个第二类间断点

C.

f (x)

有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点

D.

f (x)

有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点

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4. 函数

f (x) = \frac{(x + 1) | x - 1 |}{e^{\frac{1}{x - 2}} \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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5. 函数

f (x) = \frac{1}{x} \ln | 1 + x |

有

A.

两个可去间断点

B.

两个无穷间断点

C.

一个可去间断点和一个跳跃间断点

D.

一个可去间断点和一个无穷间断点

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6. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} - x^{2 - n}}{x^{n + 2} + x^{- n}}, F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

, 则下列结论正确的是

A.

f (x)

仅有 2 个间断点,

F (x)

为连续的偶函数.

B.

f (x)

仅有 2 个间断点,

F (x)

为连续的奇函数.

C.

f (x)

有 3 个间断点,

F (x)

有 3 个不可导点.

D.

f (x)

有 3 个间断点,

F (x)

有 2 个不可导点.

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7. 设

[x]

表示不超过

x

的最大整数,则

x = 0

是函数

f (x) = e^{- \frac{[x]}{x}}

的

A.

跳跃间断点

B.

可去间断点

C.

无穷型间断点

D.

无限振荡型间断点

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8. 函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x^{n} + 2}{x^{n} + 1}

的间断点及类型是

A.

x = 1

是第一类间断点,

x = - 1

是第二类间断点

B.

x = 1

是第二类间断点,

x = - 1

是第一类间断点

C.

x = \pm 1

均是第一类间断点

D.

x = \pm 1

均是第二类间断点

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9. 设

[x]

表示不超过

x

的最大整数, 则

x = 0

是函数

f (x) = e^{- \frac{[x]}{x}}

的

A.

跳跃间断点

B.

可去间断点

C.

无穷型间断点

D.

无限振荡型间断点

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10. 设

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

则

x = 0

是

f (x)

的

A.

可去间断点

B.

跳跃间断点

C.

第二类间断点

D.

连续点

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11. 函数

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x - 1}} \ln | 1 + x |}{(e^{x} - 1) (x - 2)}

的第二类间断点的个数为

A.

B.

2 .

C.

3 .

D.

4 .

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12. 设函数

f (x) = \frac{\ln | x |}{| x - 1 |} \sin x

, 则

f (x)

有

A.

有 1 个可去间断点, 1 个跳跃间断点.

B.

有 1 个可去间断点, 1 个无穷间断点.

C.

有两个无穷间断点.

D.

有两个跳跃间断点.

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x + e^{n x}}{1 + e^{n x}}

, 则

f (x - 1)

的间断点为

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14. 写出

f (x) = lim_{n \to + \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2 n}}

的所有间断点及其所属类型

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三、解答题（共 1 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设

f (x)

在

R

上连续, 且

f (x) \neq 0, φ (x)

在

R

上有定义, 且有间断点, 则下列陈述中,哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 试说明理由; 如果是错的, 试给出一个反例.
(1)

φ [f (x)]

必有间断点;
(2)

[φ (x)]^{2}

必有间断点;
(3)

f [φ (x)]

末必有间断点;
(4)

\frac{φ (x)}{f (x)}

必有间断点.

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