一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
二、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^2 \sin \frac{1}{x}\right)}{x}$
已知数列 $a_n=\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
求数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n^2+1}+\frac{2}{2 n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2 n^2+n}\right)$.