一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A, B$ 是两个事件, $P(A)>0 ， P(B)>0$ ，当下面条件（（）成立时, $A$ 与 $\mathrm{B}$ 一定相互独立。
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(\bar{A} \bar{B})=\mathrm{P}(\bar{A}) \mathrm{P}(\bar{B})$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(\overline{A B})=\mathrm{P}(\bar{A}) \mathrm{P}(\bar{B})$
$\text{C.}$ P $(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{B})=\mathrm{P}(\bar{A})$
设随机事件 $A, B, C$ 两两独立, 且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}, P(A B \mid C)=\frac{1}{3}$, 则在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 与 $C$ 都发生的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{9}$
已知 $P(A) P(A B) \neq 0$, 则正确的是
$\text{A.}$ $P(B C \mid A)=P(B) P(C \mid A B)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(A)-P(\bar{B} \mid A)$
$\text{C.}$ $P(B C \mid A)=1-P(\bar{B} \bar{C} \mid A)$
$\text{D.}$ $P(B \cup C \mid A)=P(B \mid A)+P(C \mid A)-P(B C \mid A)$
设随机事件 $A, B, C$ 两两独立, 且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}, P(A B \mid C)=\frac{1}{3}$, 则在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 与 $C$ 都发生的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{9}$
设 $A, B$ 为两个事件并且 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 那么下列说法中不正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充要条件是 $P(A B)>P(A) P(B)$
$\text{B.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$
$\text{C.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$ 或者 $P(A \bigcup B)=1$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid \bar{B})+P(\bar{A} \mid B)=1$, 则 $A$ 和 $B$ 独立。
$A, B$ 为两事件，若 $P(A \cup B)=0.8, P(A)=0.2$, $P(\bar{B})=0.4$ 则 $(\bar{\square})$ 成立
$\text{A.}$ $P(A \bar{B})=0.32$
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \bar{B})=0.2$
$\text{C.}$ $P(B-A)=0.4$
$\text{D.}$ $P(\bar{B} A)=0.48$
设 $A, B$ 为两个事件并且 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 那么下列说法中不正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充要条件是 $P(A B)>P(A) P(B)$
$\text{B.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$
$\text{C.}$ 若满足 $P(A \mid \bar{B})=P(B \mid \bar{A})$, 则 $P(A)=P(B)$ 或者 $P(A \bigcup B)=1$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid \bar{B})+P(\bar{A} \mid B)=1$, 则 $A$ 和 $B$ 独立。
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, 且有 $A \supset B, A \supset C, P(A)=0.9, P(\bar{B} \cup \bar{C})=0.8$, 则 $P(A-B C)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.6
$\text{C.}$ 0.7
$\text{D.}$ 0.8
设 $A 、B$ 为两随机事件, 且 $B \subset A$, 则下列式子正确的是
$\text{A.}$ $ P(A \cup B)=P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{D.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
设 $A, B$ 为两个随机事件, $0 < P(A)=p < 1,0 < P(B)=q < 1$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $P(A \mid B) \leqslant \frac{p}{q}$.
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \mid B) \leqslant \frac{P}{q}$.
$\text{C.}$ $P(A \mid B) \geqslant 1+\frac{p-1}{q}$.
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \mid B) \geqslant 1-\frac{P}{q}$.
设 $A, B$ 为随机事件, $B \subset A$, 则
$\text{A.}$ $P(B-A)=P(B)-P(A)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A)$
$\text{D.}$ $P(A \cup B)=P(A)$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, $0 < P(A) < 1, P(A C)>0$, 则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C)+\mathrm{P}(B C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)-1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B C)-1$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)>\mathrm{P}(B \mid A C)$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(B \mid \bar{A}) \geqslant \mathrm{P}(B)$
对于任意两个事件 $A$ 和 $B$, 有 $P(A-B)=$
$\text{A.}$ $P(A)-P(B)$.
$\text{B.}$ $P(A)-P(B)+P(A B)$.
$\text{C.}$ $P(A)-P(A B)$.
$\text{D.}$ $P(A)-P(\bar{B})-P(A \bar{B})$.
已知 $0 < P(B) < 1$, 且 $P\left[\left(A_1+A_2\right) \mid B\right]=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right)$, 则下列选项成立的是
$\text{A.}$ $P\left[\left(A_1+A_2\right) \mid \bar{B}\right]=P\left(A_1 \mid \bar{B}\right)+P\left(A_2 \mid \bar{B}\right)$.
$\text{B.}$ $P\left(\Lambda_1 B+A_2 B\right)=P\left(A_1 B\right)+P\left(A_2 B\right)$.
$\text{C.}$ $P\left(A_1+A_2\right)=P\left(A_1 \mid B\right)+P\left(A_2 \mid B\right)$.
$\text{D.}$ $P(B)=P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)$.
设 $A, B$ 为随机事件, $P(B)>0$, 则
$\text{A.}$ $P(A \cup B) \geqslant P(A)+P(B)$.
$\text{B.}$ $P(A-B) \geqslant P(A)-P(B)$.
$\text{C.}$ $P(A B) \geqslant P(A) P(B)$.
$\text{D.}$ $P(A \mid B) \geqslant \frac{P(A)}{P(B)}$.
设 $A, B, C$ 为三个随机事件, 且
$$
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0, P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12},
$$
则 $A, B, C$ 恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$.
设 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1, P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$, 则事件 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 互不相容.
$\text{B.}$ 相互对立.
$\text{C.}$ 不独立.
$\text{D.}$ 独立.
已知 $P(A) P(A B) \neq 0$, 则正确的是
$\text{A.}$ $P(B C \mid A)=P(B) P(C \mid A B)$
$\text{B.}$ $P(B \mid A)=P(A)-P(\bar{B} \mid A)$
$\text{C.}$ $P(B C \mid A)=1-P(\bar{B} \bar{C} \mid A)$
$\text{D.}$ $P(B \cup C \mid A)=P(B \mid A)+P(C \mid A)-P(B C \mid A)$
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立, 且都服从 $\lambda=\frac{1}{2}$ 的指数分布, $\Phi(x)$ 是标准正态 分布的分布函数, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant 2 n+2 \sqrt{n}\right\}=$
设 $A 、 B$ 为随机事件, $P(A)=0.3, P(B)=0.4$, 若 $P(A \mid B)=0.5$, 则 $P(A \cup B)=$ ________
若 $A$ 与 $B$ 相互独立, 则 $P(A \cup B)=$ ________
若事件 $A, B$ 相互独立， $P(A)=0.8, P(B)=0.6$. 求: $P(A+B)$ 和 $P\{\bar{A} \mid(A+B)\}$.
设 $A, B, C$ 为随机事件, 且 $A$ 与 $B$ 互不相容, $A$ 与 $C$ 互不相容, $B$ 与 $C$ 相互独立, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$
设 $A, B$ 为两个随机事件, $P(A)=0.6, P(A-B)=0.2$, 则 $P(\overline{A B})=$
已知 $ {P}( {A})=0.92, {P}( {B})=0.93, {P}( {B} \mid \bar{A})=0.85$, 则 $ {P}( {A} \mid \bar{B})=, {P}( {A} \cup {B})=$
设 $A, B$ 是两个随机事件，已知
$$
P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A \cup B)=0.5
$$
则 $P(A \mid B)=$
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设根据以往记录的数据分析, 某船只运输的某种物品捑坏的情况共有三 种：㧹坏 $2 \%$ (这一事件记为 $A_1$ ), 㧹坏 $10 \%$ (事件 $A_2$ ), 损坏 $90 \%$ (事件 $A_3$ ), 且知 $P\left(A_1\right)=0.8, P\left(A_2\right)=0.15, P\left(A_3\right)=0.05$. 现在从已被运输的物品中随机地取 3 件, 发现这 3 件都是好的 (这一事件记为 $B$ ). 试求 $P\left(A_1 \mid B\right), P\left(A_2 \mid B\right)$, $P\left(A_3 \mid B\right)$ (这里设物品件数很多, 取出一件后不影响取后一件是否为好品的 概率).
设 $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=0.4$, 且 $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(\bar{B} \mid \bar{A})=1$, 则 $\mathrm{P}(A B)=$
证明题 设 $P(A)=a, P(B)=b(a, b$ 均大于 0$)$ 。证明
$\frac{a}{b} \geq P(A \mid B) \geq \frac{a+b-1}{b}$