一、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim U(0,1), Y \sim E(\lambda)$ 指数分布, 且 $Y$ 的数学期望为 $\frac{1}{2}$, 则概率
$$
P\left\{\max \{X, Y\}>\frac{1}{2}\right\}=
$$
设随机变量 $X \sim B(2, p)$, 若 $p(X \geq 1)=\frac{5}{9}$, 则 $p=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布, 则 $P\{X \geq 0\}=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, $Y=3 X-2$, 则 $E(X Y)=$
二、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 \theta^{-3} x^2, 0 < x \leq \theta \\ 0, \text { 其他 }\end{array}, \theta>0\right.$ 为末知常数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本, $\bar{X}$ 是样本均值。（1）求 $\theta$ 的一阶矩估计 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}_L ;$ (3) 判断上面所得的矩估计 $\hat{\theta}$ 的无偏性, 说明理由;
(4) 设 $Y=\max \left(X_1, \ldots, X_n\right)$, 求 $E(Y)$
一汽车沿一街道行使, 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 $X$ 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求 (1) $X$ 的概率分布;
(2)
$$
E\left(\frac{1}{1+X}\right)
$$