一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 则向量组
$\text{A.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}+ {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{B.}$ $ {\alpha}_{1}- {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}- {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{C.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{D.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t ; \boldsymbol{\gamma}$, 如果
$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) < r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right), r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t, \boldsymbol{\gamma}\right)
$$
则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 但能被 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示
$\text{B.}$ $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\text{C.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关
$\text{D.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 能被向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1 个.
$\text{B.}$ 2 个.
$\text{C.}$ 3 个.
$\text{D.}$ 4 个.
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 为可逆矩阵, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\right.$ $\left.\boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+2 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3$
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$, 必有
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设 $\boldsymbol{\beta}_1 、 \boldsymbol{\beta}_2$ 是非齐次线性方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\alpha}_1 、 \boldsymbol{\alpha}_2$ 是对应的齐次线性 方程组 $A X=\mathbf{0}$ 的基础解系, $k_1 、 k_2$ 为任意常数, 则方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的通解为
$\text{A.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{B.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{C.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{D.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)$
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,3$, $0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足的条件是
设 $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$, 且 $A^6=E, E$ 为 2 阶单位矩阵, 则 $A^{11}=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 经过初等行变换化为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 选 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为最大无关组, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示为 $\alpha_4=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 3 \\ -1\end{array}\right], \alpha_4=\left[\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$, 求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个 极大无关组，并把其余向量用此极大无关组表示出来
计算下列行列式的值.
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & 2+a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & 3+a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 4+a_4
\end{array}\right|
$$
问 $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1
\end{array}\right.
$$
有惟一解 ? 无解 ? 有无穷多解 ? 并求出无穷多个解时的通解.
设
$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { ， } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基，并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
设 3 阶实矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和其伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{O},|\boldsymbol{A}|=2$.
(1) 证明 $\boldsymbol{A}$ 可以对角化;
(2) 如果 $\boldsymbol{A}$ 为实对称阵, 且 $\boldsymbol{\xi}=(1,1-1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次线性方程组 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解, 求 对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$.
问 $\lambda$ 为何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-2 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-1 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-1\end{array}\right.$ 有唯一解、无解、和有 无穷多解? 当方程有无穷多解时, 求其通解
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ k \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ 线性相关, 求常数 $k$, 并找出一个最大无关组, 并用该最大无关组线性表示其余向量
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为: $1,2,3$, 求 $\left|A^3-5 A^2+7 A\right|$.