计算下列行列式的值.
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & 2+a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & 3+a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 4+a_4
\end{array}\right|
$$
【答案】 解: 用第 1 行的 (-1) 倍加到下面的行,
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
-1 & 2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 3 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|,
$$

再用第 $j$ 列的 $\frac{1}{j}$ 倍 $(j=2,3,4)$ 加到第 1 列, 成一上三角行列式,

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\frac{a_4}{4} & a_2 & a_3 & a_4 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array}\right|=24+24 a_1+12 a_2+8 a_3+6 a_4
$$


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