一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x, y)=1+\frac{x y}{\sqrt{1+y^3}}$, 则积分 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x^2}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}-1)$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}+1)$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$.
设二重积分 $I_1=\iint_D \frac{x+y-1}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D\left(\frac{x+y-1}{4}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其 中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-2)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_2 < I_3 < I_1$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$, 则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma=$.
$\text{A.}$ $\pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi R^3}{3}$
$\text{C.}$ $\pi R^2$
$\text{D.}$ $2 \pi R^2$
设函数 $f(x)=\iint_{u^2+v^2 \leqslant x^2} \arctan \left(1+\sqrt{u^2+v^2}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v(x>0)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{-2 x}-1+2 x}=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi^2}{8}$.
$\text{B.}$ $-\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi^2}{8}$.
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
积分 $\int_{0}^{2} d x \int_{x}^{2} e^{-y^{2}} d y$ 的值等于
设区域 $D$ 为 $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$, 则 $\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $u=f(r), r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 其中函数 $f$ 二阶可微, 且 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=1$, 若函数 $u=f(r)$ 满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0$, 试求 $f(r)$ 的表达式.
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant \leqslant \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right)$, 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
求二重积分 $\iint_D \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}}$, 其中
$$
D=\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\} .
$$
交换二次积分 $I=\int_0^{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} x \int_x^{\sqrt{\pi}} \sin y^2 \mathrm{~d} y$ 的次序, 并且求出 $I$ 的值.
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。