题号:706    题型:填空题    来源:1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解
设区域 $D$ 为 $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$, 则 $\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
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答案:
$\frac{\pi}{4} R^{4}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)$

解析:

很显然, 根据此题的特征用极坐标变换来计算:
原式 $=\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{R} r^{2}\left(\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}\right) r d r=\int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\cos ^{2} \theta}{a^{2}}+\frac{\sin ^{2} \theta}{b^{2}}\right) d \theta \cdot \int_{0}^{R} r^{3} d r .$
注意: $\quad \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \theta d \theta=\pi$,
则 原式 $=\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right) \pi \cdot \frac{1}{4} R^{4}=\frac{\pi}{4} R^{4}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)$.
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