一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 40 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\ln \left(1+x^2\right)\right)-f(0)}{x^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{\sqrt[3]{x}}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x f\left(\frac{1}{x}\right)$ 存在.
函数 $f(x)=\frac{1}{x} \ln |1+x|$ 有
$\text{A.}$ 两个可去间断点
$\text{B.}$ 两个无穷间断点
$\text{C.}$ 一个可去间断点和一个跳跃间断点
$\text{D.}$ 一个可去间断点和一个无穷间断点
$I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln 1+x}{1+\cos x} d x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
函数 $y=x \arctan x$ 在
$\text{A.}$ $(-\infty,+\infty)$ 内处处是凸的
$\text{B.}$ $(-\infty,+\infty)$ 内处处是凹的
$\text{C.}$ $(-\infty, 0)$ 内为凸的, $(0,+\infty)$ 内为凹的
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$ 内为凹的, $(0,+\infty)$ 内为凸的
曲线 $y=\int_0^x \mathrm{e}^{-\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ 与 $y$ 轴及其 $x \rightarrow+\infty$ 方向的水平渐近线所围图形的面积为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 16
下列广义积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的一个特解可设为 ( ), 其中 $A, B, C$ 为常数.
$\text{A.}$ $(A x+B) x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(A x+B) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $\left(A x^2+B x+C\right) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $\left(A x^2+B x+C\right) x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的解, 在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 4 , 且 $y^{\prime \prime}(0)=$ 0 , 则 $y(x)=$
$\text{A.}$ $\left(3-2 x^2\right) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{B.}$ $3 \mathrm{e}^x+x \mathrm{e}^{-x}$.
$\text{C.}$ $(3-2 x) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+(3-2 x) \mathrm{e}^{-x}$.
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 25 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 的渐近线条数为
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=2 y^2 \ln x$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的特解为 $y=$
若 $y=\mathrm{e}^{-x}(1+2 x)+3 \mathrm{e}^x$ 是线性常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=A \mathrm{e}^{-x}$ 的特解, 则常数 $A=$
设函数 $f(x)$ 连续， $g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ， $A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
三、解答题 （ 共 9 题，满分 85 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t}{\ln \left(1+x^6\right)}$.
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.
计算 $\int \frac{x^2 e^x}{(x+2)^2} d x$.
设 $y=x \ln x$ 是方程 $x^2 y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=0$ 的一个解,
(1) 求 $p(x)$ 的表达式;
(2) 求解方程 $x^2 y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=x \ln x$ 。
证明当 $x>0$ 时, $\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) < \sqrt{1+x^2} \arctan x$.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $g(a)=g(b)=1, f^{\prime}(x) \neq 0$. 试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$, 使得 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\mathrm{e}^{\xi-\eta}\left[g(\xi)+g^{\prime}(\xi)\right]$
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
求 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 将方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程, 并求满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的解.