单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(e^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$
已知函数 $f(x)=x^2 \ln (1-x)$ ，则当 $n \geq 3$ 时， $f^{(n)}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{n!}{n-2}$
$\text{B.}$ $\frac{n!}{n-2}$
$\text{C.}$ $-\frac{(n-2)!}{n}$
$\text{D.}$ $\frac{(n-2)!}{n}$
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y, x y \neq 0 \\ x, y=0 \\ y, x=0\end{array}\right.$ 给出下列结论
(1) $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$
(2) $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$
(3) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$
(4) $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)>f(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $\frac{f(-2)}{f(-1)}>1$
$\text{B.}$ $\frac{f(0)}{f(-1)}>e$
$\text{C.}$ $\frac{f(1)}{f(-1)} < e^2$
$\text{D.}$ $\frac{f(2)}{f(-1)} < e^3$
设 4 阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆， $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为矩阵 $A$ 的列向量组， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 的通解为
$\text{A.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{B.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{C.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{D.}$ $x=k_1 \alpha_2+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
设 $A$ 为 3 阶方阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\alpha_3$ 为 $A$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 $P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的可逆矩阵 $P$ 可为
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3, \alpha_2,-\alpha_3\right)$
$\text{B.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2,-\alpha_3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_3, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3, \alpha_2\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^3+1} \mathrm{~d} x=$
设 $z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$
斜边长为 $2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 $g$ ，水的密度为 $\rho$ ，则三角形平板的一侧受到的水压力为
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}(x>0)$ 的斜渐近线方程.
设 $f(x)$ 连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t
$$
求 $g^{\prime}(x)$ 且证明 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的极值.
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有定义，且满足
$$
2 f(x)+x^2 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+2 x}{\sqrt{1+x^2}}
$$
(I) 求 $f(x)$ ；
() 求曲线 $y=f(x), y=\frac{1}{2}, y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 及 $y$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $D$ 由 $x=1, x=2, y=x$ 及 $x$ 轴围成.
已知 $f(x)=\int_1^x e^{t^2} \mathrm{~d} t$.
(I) 证明: $\exists \xi \in(1,2)$ ，使得 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^2}$ ；
(ㅍ) 证明: $\exists \eta \in(1,2)$ ，使得 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta \cdot e^{\eta^2}$.
已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)>0$. 曲线 $y=f(x)(x \geq 0)$ 经过坐标原点 $O$ ，其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $T$ ，过点 $M$ 做 $M P$ 垂直于 $x$ 轴于点 $P$ ，且曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M P$ 以及 $x$ 轴所围成图形的面积与三角形 $M T P$ 的面积比恒为 $3: 2$ ，求满足上述条件曲线方程.
二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3
$$
经过可逆线性变换 $x=P y$ 变换为
$$
g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2+2 y_1 y_2
$$
(I) 求 $a$ 的值；
(II) 求可逆矩阵 $P$.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量. (I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵； (I) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.