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设 $f(x)$ 连续，且

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t
$$


求 $g^{\prime}(x)$ 且证明 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续.
                        
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