单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $a, b \in \mathbf{R}$, 数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=a, a_{n+1}=a_n^2$ $+b, n \in \mathbf{N}^*$, 则
$\text{A.}$ 当 $b=\frac{1}{2}, a_{10}>10$
$\text{B.}$ 当 $b=\frac{1}{4}, a_{10}>10$
$\text{C.}$ 当 $b=-2, a_{10}>10$
$\text{D.}$ 当 $b=-4, a_{10}>10$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=$ $\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$. 记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} < S_{100} < 3$
$\text{B.}$ $3 < S_{100} < 4$
$\text{C.}$ $4 < S_{100} < \frac{9}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{2} < S_{100} < 5$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}+(-1)^n a_n=3 n-$ 1 , 前 16 项和为 540 , 则 $a_1=$
已知集合 $A=\left\{x \mid x=2 n-1, n \in \mathbf{N}^*\right\}, B$ $=\left\{x \mid x=2^n, n \in \mathbf{N}^*\right\}$. 将 $A \cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_n\right\}$. 记 $S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则使得 $S_n>12 a_{n+1}$成立的 $n$ 的最小值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $b_n$ 为数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$.
(1) 证明: 数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列;
(2) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式.
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 中, $a_1=b_1=$ $c_1=1, c_n=a_{n+1}-a_n, c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n(n \in$ $\left.\mathbf{N}^*\right)$.
(1) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 且公比 $q>0$, 且 $b_1+b_2=6 b_3$, 求 $q$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列, 且公差 $d>0$, 证明: $c_1+c_2+\cdots+c_n < 1+\frac{1}{d} .\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_n>0$ 且 $a_1 a_3=36, a_3$ $+a_4=9\left(a_1+a_2\right)$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $S_n+1=3^{b_n}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 及数列 $\left\{a_n b_n\right\}$的前 $n$ 项和 $T_n$;
(3) 设 $c_n=\frac{a_n}{\left(a_n+1\right)\left(a_{n+1}+1\right)}$, 求 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$项和 $P_n$.
设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, 且 $a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 求证: $\left(S_{n+1}+\right.$ $\left.a_{n+1}\right) b_n=S_{n+1} b_{n+1}-S_n b_n$ ；
(3) 求 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^k a_k\right] b_k$.
设 $\left\{a_n\right\}$是等差数列, $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列. 已知 $a_1=4, b_1$ $=6, b_2=2 a_2-2, b_3=2 a_3+4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2 ) 设数列 $\left\{c_n\right\}$ 满 足 $c_1=1, c_n=$ $\left\{\begin{array}{l}1,2^k < n < 2^{k+1} \\ b_k, n=2^k,\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^*$.
① 求数列 $\left\{a_{2^n}\left(c_{2^n}-1\right)\right\}$ 的通项公式;
② 求 $\sum_{i=1}^n a_{2 i} c_{2^i}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 2 的等差数列, 其前 8 项和为 $64 .\left\{b_n\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列 $, b_1=4, b_3-b_2=48$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $c_n=b_{2 n}+\frac{1}{b_n}, n \in \mathbf{N}^*$,
(1)证明 $\left\{c_n^2-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列；
(2)证明 $\sum_{k=1}^n \sqrt{\frac{a_k a_{k+1}}{c_k^2-c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$.