设 $\left\{a_n\right\}$是等差数列, $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列. 已知 $a_1=4, b_1$ $=6, b_2=2 a_2-2, b_3=2 a_3+4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2 ) 设数列 $\left\{c_n\right\}$ 满 足 $c_1=1, c_n=$ $\left\{\begin{array}{l}1,2^k < n < 2^{k+1} \\ b_k, n=2^k,\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^*$.
① 求数列 $\left\{a_{2^n}\left(c_{2^n}-1\right)\right\}$ 的通项公式;
② 求 $\sum_{i=1}^n a_{2 i} c_{2^i}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$.