已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 中, $a_1=b_1=$ $c_1=1, c_n=a_{n+1}-a_n, c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n(n \in$ $\left.\mathbf{N}^*\right)$.
(1) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 且公比 $q>0$, 且 $b_1+b_2=6 b_3$, 求 $q$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列, 且公差 $d>0$, 证明: $c_1+c_2+\cdots+c_n < 1+\frac{1}{d} .\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$